Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 42

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 203 >> Следующая

+ . . . ф °0 = 3, о и р - некоторые числа, одновременно не равные нулю,
через (к, 0) обозначена величина А^0* -j--]- fc.0, А^10п, где | кх | -]-1
к31 -(-... -]-1 к3 | = 3 или 1.
Соответствующие одночлены в W3 возьмем в виде
р(r)" [у sin (к, 0) -(- б cos (к, 0)] (4.10)
и подберем коэффициенты у и б так, чтобы подобные им одночлены в F3
отсутствовали. Подставляя (4.9), (4.10) в (4.8), получаем, что для этого
у и б должны удовлетворять такой системе линейных
ПОЛУЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА
115
алгебраических уравнений:
V [1 - cos 2л (k, k)] - б sin2n (к, X) = а, (4.11)
у sin 2я"(к, Я,) + б [1 - cos 2я (к, Я,)] = р.
Определитель этой системы равен 4 sin2n (к, X). Поэтому, если (к, X) не
будет целым числом при | kt | + | к2 | -f- . . . + I кп \
^ 3, то Fs можно полностью уничтожить. При этом коэффициенты у и б
получаются такими:
у = ~y о -f- ctg я (k, X) [3, 6 = ctg я (к, А,) а -|-Р- (4-12)
Проведя некоторые достаточно громоздкие выкладки, получим, что при таком
выборе W3 члены четвертой степени в производящей функции F отображения
pj, 0г- -> р?, 0? вычисляются по формуле
г о m п<к , ^ awA&Bi-Mo ds3(Qit р?)
^4 = ^(0i,Pi)+ 2_,-------аГ-------------'-^5-•
к=1 *
Если же число (k, X) будет целым, то система уравнений (4.11) в общем
случае решения не имеет и, следовательно, соответствующие одночлены в
функции F3 уничтожить нельзя.
Проведя аналогичные построения, можно упростить члены четвертой, пятой и
т. д. степеней в производящей функции отображения. В нормальной форме
отображения Т производящая функция будет содержать угловые переменные в
виде таких комбинаций (к, 0), для которых (к, >,) - целое число. Если
нормализация проведена до членов конечного порядка, то нормализующее
преобразование гг, <рг-"-рг> 0г будет аналитическим относительно V Рг-
§ 5. Получение функции Гамильтона по отображению
В предыдущем параграфе показано, как по функции Гамильтона построить
точечное отображение. В этом параграфе кратко рассмотрим обратную задачу,
как по отображению Т построить соответствующую функцию Гамильтона
динамической системы. Очевидно, что обратная задача не имеет однозначного
решения.
Производящая функция отображения связана с функцией Гамильтона
посредством системы дифференциальных уравнений
(3.6). Пусть отображение Т и функция Гамильтона Н в их линейной части по
rt имеют нормальную форму. Покажем, как найти Н3 (фг, гг, t), если
известна функциц S3 (фг, г?, 2л).
Возьмем в функции S3 два одночлена вида
r°"[cm sin (к, ф) + em cos (к, q>)],|
Ц6 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. 6
где ст и ет - константы. Соответствующие одночлены в функции Н3 будем
искать в виде
- r(r)[am (t) sin (k, q>) + bm (t) cos (k, q>)]. (5.1)
Функции am (t) и bm (t) ищем 2л-периодическими no t. Согласцо
(3.9) и(3.10), они должны удовлетворять следующим соотношениям:
ст = f (2л) cos 2л (к, Я,) + g (2л) sin 2я (к, X),
ет = - / (2л) sin 2я (к, X) + g (2л) cos 2я (к, X),
где

/ (2л) = ^ [ат (t) cos (к, X) t - bm (t) sin (к, %) <] dt,
m (5-3)
g (2л) = § [am (t) sin (к, 1) t -f- bm (t) cos (к, X) t] dt. о
Функции am (t) и bm (t) определяются из (5.2) и (5.3) неоднозначно. Если
(к, Ц не будет целым числом, то их можно считать не зависящими от t. Из
(5.2) и (5.3) в этом случае для них получаем выражения
ат = ¦ ¦ к^) [ст ctg я (к, %) - ет\,
Ьт = (к'2Х') [ст + ет ctg я (к, *,)].
Соответствующие одночлены (5.1) в Н3 будут в этом случае такими:
ь га2^(л(кДТ sin <к- *) + п (к' *-)] +
-f- emcos [л (к, ф) + л (к, Я,)]}.
Если же число (к, V) будет целым, то функции ат (t) и bm (t) постоянными
получить нельзя. Пусть (к, Я,) = N. Тогда прибавление к
функциям ат (t) и Ът (t) гармоник вида sin pt и cos
pt
(р ф + N) не нарушает равенств (5.3). Будем поэтому искать функции ат (t)
и bm (t) в таком виде, когда они не содержат гармоник sin pt, cos pt для
p Ф + TV. Положим
о-m (t) = ai sin Nt + 5i cos Nt, bm (t) = sin Nt 4- b3 cos Nt.
Для чисел au bt из (5.2) и (5.3) получаем соотношения
л (Ьг - а2) = ст, я (а! + Ъ2) = ет.
Здесь опять проявляется неоднозначность определения ат (t) и bm (t).
Используем эту неоднозначность для того, чтобы получить искомые одночлены
в Н3 в нормальной форме, т. е. чтобы она содержала синусы и косинусы
только с аргументами вида
устойчивость неподвижных точек
117
к, q>) - Nt. В этом случав следует, очевидно, положить
г 7
0\ - Ъг - ~2^~, а2 - - Ох - 2я •
Входящие в Н3 одночлены будут иметь вид
- {ст sin [(к, ф) - Nt] + ет cos [(к, ф) - Nt]} г(r). (5.4)
После того как функция Н3 найдена, можно из уравнений (3.6) найти S3 (ф,-
, r°, t). Потом можно найти Hit <S4, Нь и т. д.
Проведенные рассмотрения приводят к следующему, основанному на применении
точечных отображений способу нормализации 2я-периодических по t
гамильтоновых систем. Решив уравнения
(3.6), находим производящую функцию S точечного отображения Т. Затем
вводим новые координаты, в которых функция S имеет нормальную форму.
Последний шаг - получение по нормализованной производящей функции
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed