Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 52

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 203 >> Следующая

движения основных притягивающих масс S и /), для которых
О < v < ехр . (3.22)
Величина е характеризует малость величины отклонения координат и
скоростей тела Р от их значений, соответствующих точке либрации.
Положительные константы а и Ъ допускают оценку
О <а<Ь<-^-. (3.23)
§ 4. Формальная устойчивость точек либрации при критическом отношении
масс
Рассмотрим теперь, следуя работе [88], задачу об устойчивости точек
либрации при критическом отношении масс ц*, являющемся границей области
устойчивости в линейном приближении. При ц = ц* частоты плоских колебаний
равны между собой ((ох = "*2 = о = V2/2), а частота пространственных
колебаний (о3, как и при любых значениях ц, равна единице. Линейным
вещественным каноническим преобразованием д3, р, -*¦ qу р] приведем
квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной форме. Для этого
переменные плоского движения д/, pj (/ = 1, 2) преобразуем с помощью
матрицы N = || nl} || (i, 7 = 1,..., 4), задающейся равенством (5.1)
седьмой главы, a q3, р3 оставим без изменения. Тогда функция Гамильтона
возмущенного
ш
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
движения примет вид
Н = 4~ (?i + ?а*) + tiiP* ~~ q2pJ + 4" <?3 + Рз) п
V1 7 'Vl 'V2 'V" 'V* ,, I ,
+ ^viViYjUiUi?! <?2 <7з Pi Pa • (4.1)
При помощи преобразования Биркгофа qj, pj-* gr,, pj можно в гамильтониане
(4.1) уничтожить все члены третьего порядка, а члены четвертого порядка
упростить. Функция Гамильтона, нормализованная до членов четвертого
порядка включительно, в новых переменных будет иметь вид
н = - (?1 + <h) + -4~(9ipa - g2pi) Н 2~ ?3)
+ (Pi + Рг) [A (pi + рг) + В (<7ip2 - g2pi) + С (q\ + q\)] +
+ (Яз + Рз) W (Pi + pi) 4~ Е (^р.2 - q-zpi) + F (<7з + Рз)1 + • • ¦ (4.2)
В (4.2) не выписаны члены пятого и более высоких порядков, коэффициенты
А, В, С - те же, что и в формуле (5.3) седьмой главы. Как будет видно
ниже, для доказательства формальной устойчивости существен только
коэффициент А = 0,603. . .
Докажем формальную устойчивость точек либрации. Можно показать, что при
помощи бесконечного числа шагов преобразования Биркгофа (возможно,
расходящегося) функция Гамильтона (4.2) может быть приведена к следующей
нормальной форме:
Н = (q\ + qt) + (qip2 - Qzpi) + -тр (Яз + Рз) +
00
"Ь (r)a,i"owx4 (?i "4" Яз)а'{Pi ~Ь Pz>a'(9i?z rh?i)a' (Яз Д" Ps)aS
OtI -]-ОСе -|-OCs -0^42 Г ?4. 3 )
где аi - целые неотрицательные числа.
Каноническая система с гамильтонианом (4.3) имеет три формальных
интеграла:
Н = const, <Др2 - <?2pi = const, ?з + Рз = const. (4.4)
Следовательно, их комбинация
l/*2
G == Я - 2-. (дгр2 - q2 рх) также будет формальным интегралом. В
разложении
G - G2 + Gi + G6 + . • •
выводы
145
функция
^2 + ^4 = - (?i + qt) + A (pi + рг)2 -g- (<7з + Рз) ~т
+ (Pi + Рг) [В (<7i?2 - ?2?i) + C(q\+ q\ )] +
+ (?з + Рз) [D (Pi + Рг) -\-B (?1р2 - 9,Pi) + P (ql + рз)]
при A О будет определенно-положительной функцией своих переменных. Отсюда
следует формальная устойчивость треугольных точек либрации при
критическом отношении масс р*.
Отметим в заключение, что приведенное выше доказательство формальной
устойчивости отличается от доказательства, изложенного в работе А. Г.
Сокольского [88]. Приведенный здесь новый вариант доказательства также
сообщен автору А. Г. Сокольским.
§ 5. Выводы
Кратко сформулируем и обсудим результаты исследования устойчивости
треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел.
Как в плоской, так и в пространственной задаче условия устойчивости в
линейном приближении записываются в виде неравенств
О < р < р* = 0,0385208. . . (5.1)
Строгий нелинейный анализ показал, что в случае плоской задачи точки
либрации устойчивы по Ляпунову для всех значений параметра р из области
(5.1), кроме двух значений
Pi = 0,0242938. . . и р2 = 0,0135160. . ., (5.2)
при которых имеет место неустойчивость. Так что задача об устойчивости
треугольных точек либрации для значений параметра р из области (5.1) в
случае плоской задачи решена полностью.
В пространственной задаче неустойчивость при р = р, (i = = 1,2) конечно,
остается, а при значениях р, не равных р, и принадлежащих области (5.1),
доказана устойчивость для большинства начальных условий. Кроме того, для
почти всех р из интервала (5.1) (исключения, быть может, составляют
значения р, соответствующие двукратному резонансу между частотами %, и
(r)з) показана формальная устойчивость. Таким образом, если в
пространственной задаче точки либрации и могут быть неустойчивыми, то эта
неустойчивость в большинстве случаев крайне слабая.
Для значений параметра р, больших критического значения р*, точки
либрации неустойчивы, что обнаруживается уже в
146
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
линейной задаче, так как соответствующее характеристическое уравнение
имеет корни с положительными вещественными частями. При р = р* все корни
характеристического уравнении чисто мнимые, но среди них есть кратные, а
линейная система неустойчива. Анализ показал, что эта неустойчивость
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed