Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 54

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 203 >> Следующая

Функция Гамильтона, соответствующая возмущенному движению в
рассматриваемой задаче, записывается в виде (3.1) (см. главу 7), где
пространственные q3 и р3 надо положить тождественно равными нулю, а
эксцентриситет е может изменяться в интервале (0, 1). Мы проведем
аналитическое (при малых эксцентриситетах) и численное (при произвольных
е и р) исследования.
В эллиптической задаче возможно явление параметрического резонанса. При
малых значениях е границы областей неустойчивости можно найти
аналитически, использовав результаты §§ 6 и 7 второй главы.
Параметрический резонанс обнаруживается в окрестности тех значений
параметра р, для которых величины Ах и А2 в нормальной форме квадратичной
части функции Гамильтона
Н3 = -у Ах (<7Х2 -f- pi) -f - А2 (q3 + р*ъ) (2-1)
связаны при е = 0 резонансными соотношениями второго порядка
2АХ = N, 2А2 - N, Ах + А2 = N (N - целое число).
Очевидно (см. главу 7), что при е = 0 справедливы равенства Ах = юц А2 =
-ю2, где (ox и ю2 - корни уравнения
ш* -ю* + ^.|1(1 -р) = 0, (2.2)
150
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
а ц изменяется в области
0<ti<n, = -9 Jf69 = 0,038521...
(2.3)
На рис. 13 приведена зависимость частот и (о2 от ц. В области
(2.3) выполнено только одно резонансное соотношение второго порядка ш2 =
1/2. При этом
р0
3 - 2/2 6
0,0285954..
Рис. 13. Частоты о), и со, линейных колебаний в окрестности точек
либрации.
Расчеты по формулам § 7 главы 2 показывают, что при достаточно
малых е границы области устойчивости в окрестности резонансного значения
р0 с точностью до первой степени е имеют вид
р - ро + е -0,05641 ...
(2.4)
Эти границы в работе [160] получены с точностью до е4. В [160] с
точностью до членов порядка е% получена также граница области
устойчивости, исходящая из граничной точки р = р*.
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости в нелинейной постановке.
Эксцентриситет считаем малым, удовлетворяющим вместе •с р условиям
устойчивости в первом приближении. Для решения задачи нужно функцию
Гамильтона привести к нормальной форме, а затем, применив результаты
главы 5, сделать выводы об устойчивости или неустойчивости точек
либрации.
Сначала надо провести нормализацию квадратичной части функции Гамильтона.
В этом параграфе построено линейное, вещественное, каноническое, 2л-
периодическое по v преобразование (ft, pi qt, р* (i = 1, 2), приводящее
квадратичную часть Нг функции Гамильтона к нормальной форме (2.1).
Нормализующее преобразование найдено с точностью до первой степени
эксцентриситета.
Пусть (Oi ю2. Сделаем сначала каноническую замену переменных qt, pi ->
q'i, р\ по формулам (4.2) главы 7, а затем - по следующим формулам:
9%
УШг
p'i = V ""р.
(j = 1,2).
(2.5)
§ 21 ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 151
В переменных qb pt функция #2 примет вид
В % - ~2 (r)i (<7i + Pi) (r)2 (<7г + Рг) +
+ '1+TcosV Yj (2-6>
Vj+V2-hM'i"l-M'2==2
Коэффициенты av.v^iu получаются такими:
"2000 = - Ох(r)! (8(r)1 - 2(r)1 - 9), "0200 = а2(r)2 (8(02 - 2(r)2 - 9),
"оо2о ^ 36(Xx(r)i, "ооо2 = - 36а2со2,
"1100 = 16P(0i(r)2> "1010 - 16Qi&(r)i, (2-^)
"1001 = - 8p/c(0j0)2, "0110 = 8pA(r)i(r)25
"oioi = 16а2Ь)2, "0011 = - 36fki)i(r)2-
В формулах (2.7) введены обозначения
- 1 Р: 1
2 (2ю| - 1) (4ш? + 9) /(OjWa (16(о^(о|-(- 117) (1 - 4(о^ш|)
Теперь будем искать преобразование функции (2.7) к форме (2.1)" Для
удобства дальнейших вычислений перейдем сначала к комплексно сопряженным
переменным qj, р] по формулам
q] = pj -f iqu p] = p} - iq,. (2.8)
В комплексно сопряженных переменных функция Гамильтона вычисляется по
формуле
Hi - 2iH%,
где В2 - функция (2.6), выраженная через q), р] согласно преобразованию
(2.8). Получаем
В2 (Qh Pj, v) = iohqlpl - i(o2qlp"2 +
ecos v 1 + е cos v
, 0. е cos V >П * "vi "v8 "\it 4i,
+ ll -p У aviV2^iM8?l ?2 Pi Ръ • (2-9)
Vl-|-V2-|-|l J-j-|X2=2
В функции #2 коэффициенты таковы, что = a^,viv2-
Черта означает комплексно сопряженную величину. Выражения
для коэффициентов получаются следующими:
" 1 - ^
"2000 = "4" ( "2000 + "0020 - ^"101о),
1
"0200 ^ ~Т~ ( "0200 ~4" "0002 j"010l)>
152 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
^иоо = -?~ (- вцоо + Яоон - шЮ01 - (Яо1ю)>
<*1001 = ((r)1100 + "ООН jfllOOl + <<*011o)i
* i_ _ , _ 1 _
¦^me = ~2~ (<*2000 ~Ь яоо2о)> (r)oioi = ~2~ (<*0200 + <*ооог)-
(2Л0)
Теперь найдем преобразование qj, pj -" q**, р** функции Гамильтона (2.9)
к нормальной форме в комплексно сопряженных переменных
/ • <4 ^'l' # 1* I фя Sfc-fc sK'fS /п ill
2 № ,Pi ) = iKqi-Pi +IMa Рг • (2.11)
Пусть это преобразование задается при помощи производящей функции
" . " sfc i* I л/ " 4t2js I
Я1Р1 + ЯгРг + S(qj, р, , v),
где
S' - V .. ""У'""Г2п**Й1п**Мг
15 - 2i 6ViVjH1ui?l ?2 Pi P2 1
Vx+V,+H,+H2=2
причем коэффициенты sVlV:(i*ij надо выбрать 2л -периодическими
_ п ' П jbjb ф I.
по v. Связь переменных q$, pj и qj , pj получается из соотнощении
м I ()S 1 &?> /п л пу
9j = 9} + -7-57. Pi = Pi + р- - (2-12)
SPj Э?,-
имеет место тождество
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed