Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь введено обозначение Ф = (к, ф°) -[- Ъ.
Теперь для разности V (ritф^ - V (г(r), ф(r)) в области V > 0 получаем такое
выражение:
-120 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ.! 6
Величина, стоящая в фигурных скобках выражения (6.7), в облар-ти V 0
будет больше единицы. Поэтому при достаточно малых О в области 0 разность
V (ги ф{) - V (г(r), ф(r)) положительна. Следовательно, неподвижная точка гJ
= г% = . . . = rJi = 0 неустойчива.
Рассмотрим теперь резонанс четвертого порядка. Пусть А.г удовлетворяют
резонансному соотношению кхкх + • • • -\гкп'кп = = N для целых kt > 0,
сумма которых равна четырем. И пусть нет других резонансов третьего и
четвертого порядков.
Производящая функция нормализованного до членов четвертого порядка по Vг(r)
отображения имеет вид
S = Гх^(ф!- 2пкх) Гп^Фп - 2яХп) -f- F(r0i) -f-G(r(r), ф,)
-j- 0(rx ).
Здесь
р (ГЬ = У аагг0)г^0), ац = ан, i, j=l
G (г(r), фг) = аИ°> sin [(к, ф) + Ь], аг ^ 0, cx^-j- сс% -
[-• . • -)- ccn =2,
величины atj, а, Ъ - некоторые числа.
Явный вид отображения Т такой:
Г] = г(r) -f- акхг°а cos Ф -{- О (rf'2),
п r°(r) 3/-2
фу = ф(r) -f- 2nXj - 2 51 a;ir(r) - aa,- -~ sin Ф -f- О (r(r) ). (6.8)
i=l rj
Теорема. Если выполняется неравенство
| | > | F (kt) I, (6.9)
то неподвижная точка r[0) = =.. . = г"0) = 0 точечного отобра-
жения (6.8) неустойчива.
Для доказательства функцию V и область V 0 берем такими же, как и при
резонансе третьего порядка. В области V 0 получаем такие оценки:
ri = гт + a.kPkfrf cos Ф +0 (rf1*),
r°a = k;2k*r? + 0 (rf\
П (ri-Ji) =П(1 - г,?)гГ3[1 + а(3п - З^МсовФ + 0(rf\
5-2 5=2
п
ф4 = Ф(r) + 2nki - - а -у- kfkar\ sin Ф + О (rf1),
j=i %
§ 6] устойчивость неподвижных точек 121
(к, <р) = (к, ф°) + 2л N - -J- [F (ki) + ака sin Ф] г? + О (rf\
2го
cos [(к, <р) -f Ъ\ - cos Ф -1-r±- [F {ki) + ак? sin Ф] sin Ф + О (rf ").
Используя эти оценки, получаем в области V 0 такое выражение для разности
V (гг, фг) - V (г?, ф(r)):
П
v (ru ffi) - V (rl ф?) = п (1 - Til) ki'rf1 1 X
3=2
1 /2
X [ака sin2 Ф + 2F (к*) sin Ф + ака + За (п - 1) A(r) cos2 Ф f О (г\ )].
(6.10)
Четвертое слагаемое в квадратных скобках неотрицательно в области V 1> 0.
С уйм а же первых трех слагаемых строго положительна, если выполняется
условие (6.9). В самом деле, эту сумму можно рассматривать как квадратный
трехчлен относительно этФ. Дискриминант трехчлена
D = 4 IF2 (kt) - а2*2*]
и отрицателен, если справедливо неравенство (6.9).
Следовательно, в области F>0 разность F (rit фг)- V (г(r), Ф(r)) положительна
и, согласно §2, неподвижная точка гх = гг =. . . . . . = гп = 0
неустойчива.
ГЛАВА 7
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Функция Гамильтона задачи трех тел
Рассмотрим три материальных тела (точки), взаимно притягивающиеся по
закону Ньютона. Как и в главе 1, будем интересоваться частным случаем
задачи трех тел - случаем ограниченной задачи.
В главе 1 получены пять точек либрации Li (i = 1, 2,. . ., 5)
ограниченной задачи трех тел и в случае круговой задачи исследована их
устойчивость в первом линейном приближении. Показано, что прямолинейные
точки либрации Ьх, Ь2шЬ3 неустойчивы в линейном приближении, так как
соответствующие им характеристические уравнения имеют корни с
положительными вещественными частями. Отсюда следует неустойчивость точек
либрации Llf L3 и L3 и в строгой нелинейной постановке. Треугольные точки
либрации i4 и 15 в линейном приближении устойчивы только при достаточно
малом отношении масс основных притягивающих тел S и J; более точно, при
выполнении неравенств (3.1) главы 1.
В этой и последующих главах излагается решение задачи об устойчивости
треугольных точек либрации в следующих случаях ограниченной задачи трех
тел: 1) плоском круговом, 2) пространственном круговом, 3) плоском
эллиптическом, 4) пространственном эллиптическом.
Получим выражение для функции Гамильтона задачи трех тел. Движение будем
рассматривать в координатах Нехвила ?, ц, ? с истинной аномалией v
кеплеровского движения тел S и / в качестве независимой переменной.
Единицы измерения выберем такими, чтобы сумма масс тел S и J, расстояние
между ними и постоянная тяготения равнялись единице. Уравнения движения
запишутся в виде соотношений (1.10) главы 1. Эти уравнения могут быть
записаны как уравнения Лагранжа второго рода с функцией Лагранжа L вида
ь = -f (Г2 + л'2 + Г) + (л'? - О + -1+e1cosv (1-1)
Штрих в (1.1) означает дифференцирование по V. Введя обобщенные импульсы
И =-Ц--5'-ч. р, = !?- = ч' + Е. и=^- = Г О-2)
? 2]
ПРЕДЫСТОРИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
123
и проведя затем несложные выкладки, получим такое выражение для функции
Гамильтона:
§ 2. Краткая предыстория решения задачи об устойчивости лагранжевых
решений
Легко проверить, что уравнения движения с гамильтонианом (1.3) допускают
такое частное решение:
Это частное решение соответствует периодическому движению Лагранжа (точке
либрации) задачи трех тел. Для решения (2.1), в случае эллиптической
