Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Решение (2.1) в новых переменных будет положением равновесия Яг - Pi - 0
(г == 1, 2, 3). Разлагая функцию Гамильтона (1.3) в ряд по степеням qit
ри получаем
Н = Яа + #3 + Н, +. . . (3.1)
Здесь отброшены члены, не зависящие от qt, Pi, а через Нт обозначена
форма степени т относительно qt, pt. Первые шесть форм Нт получаются
такими:
Н% = ~2~ (Pi + Ра + Рз) + Pi7a - Я1Р2 Н-2~ 7з 4~
+ 2(1 +ecosv) ^Зх + 3^ 8(1 + е cos v) ^ ~ 8A7l?a - 5ql), (3.2)
гг 1 / 7/ЗЛ "з , 3/3 "2 , 11 /ЗЛ 2 ,
Яз l+ecosv V 36~ Зх + "Тб~ 3x32 + "12-------------------3x32 +
3/3 з /3fc а 3 /3 а\ /Q оч
' 16 За 3 3х3а 4 4.24.ZJ (3-3)
/г 1 / 37 4 . 25к з 123 2 2 15& 3
4 - l+ecosv (l28 3l + "24 3x32 ~ "64 3x32 ffMa-
3 4 > 3 2 2 1 33 о 2 1 5/c 2 3 &\ л
128 ^2 + -jg- QiQb + -jg- <Мз + -g- ffriMe------------g" ?3) i (3.4)
И 1 /23/3* _s 285/3 4 215/ЗА; 3a .
Яб l+ecosv \ 576 3l 256 3x3a 288- 3x3a +
, 345 /3 a 3 , 555 /3k . 33 /3 к . 25 /3fe * " 45/3 . ,
+ "428" 3x3a + 576 3x32--------------2B6~ 32 + "T2-3x32---------
---------Й-?й"в5-
85/ЗА ""a 2 45/3 за ,5/3A a . 15/3 a\
24 ?i7a?3 32 За9з 4 jjj- 3i?8 H---------------jg- ?а?зj "
(3.5)
126
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. т
тт 1 / 331 " . 49к s . 6105 4 2
- "l + ecosv \~ 10249l + 128 + 1024 5l9a ~
35fc з з 7965 2 4 119А: $ . 383 в 285 л а
- 64 9i9a - Jo24 5,15,2 - 128 5,15,4 + 1024 5,4 - 256 5,15,3 ~
- ^ ^ qhkl + ^ + Ц як1 -
45 2 4 35/с 4 255 2 4 i 5 j\ ,0
- 64 ?1?з - -g- - 64 ?2?3 + Тб ") • (3-6>
В выражениях (3.2) - (3.6) для краткости введено обозначение
3VT(l-2p) . к---------------------4--------------------
§ 4. Решение задачи об устойчивости точек либрации для значений параметра
р из области устойчивости в первом приближении
Рассмотрим случай плоской круговой задачи трех тел. Гамильтониан
возмущенного движения записывается в виде разложения
(3.1), в котором надо положить е = 0, q3 = р3 = 0. Таким образом,
получаем динамическую систему с двумя степенями свободы, гамильтониан
которой не содержит явно времени. Пусть значение параметра р
удовлетворяет условию (2.2) устойчивости треугольных точек либрации в
первом приближении. При строгом исследовании устойчивости будем применять
результаты теории автономных гамильтоновых систем с двумя степенями
свободы (см. главу 4) и докажем следующее утверждение [56].
Теорема. В области устойчивости в линейном приближении
(2.2) треугольные точки либрации плоской круговой ограниченной задачи
трех тел устойчивы по Ляпунову при всех значениях р, кроме двух значений
45- /Т833 nno/onoo .. 15-/213
рх =-------^-----= 0,0242938..., р2 =--------^------=
= 0,0135160..., (4.1)
при которых имеет место неустойчивость.
Для доказательства необходимо получить нормальную форму гамильтониана
(3.1) и по свойствам нормальной формы сделать выводы об устойчивости и
неустойчивости. Прежде всего надо провести нормализацию гамильтониана Н2,
соответствующего линейной системе. Согласно главе 2, задача линейной
нормализации сводится к некоторым несложным алгебраическим операциям над
коэффициентами гамильтониана #2. После их проведения получаем
§ 4J РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 127
линейное каноническое нормализующее преобразование в таком виде:
= ai4i + a2q2,
Чг = aici4i + a2c2q'2 + я А/ - афгРъ, (4.2)
Pi = -a^igi - a2c2qi -f ax (1 -6j) pi - a2 (1 - 62) pi, p2 = ax (i -
ftiOii) qi + аг (1 - &2o2) q2 + a^pi - a2c2p2.
В (4.2) введены следующие обозначения:
2 К | 2(0? -
9,8 4/с
- "! I Г" i Ci - "" '
¦1| 4(c)?+ 9 4co? + 9
Частоты йi ((c)j a>2 > 0) удовлетворяют уравнению
о4 - (r)" + -2Z-|i(l - (i) = 0. (4.3)
Если теперь еще ввести канонические переменные г*, ср,- по фор-
мулам
ql = sin ф{, pi = У2ricoi cos <pt, (4.4)
то гамильтониан Н2 запишется в виде
Я2 = со^ - со2г2. (4.5)
Следует отметить, что линейное нормализующее преобразование
определяется функцией Я2 неоднозначно. В работе [106], например,
преобразование, аналогичное (4.2), найдено в другой форме.
Дальнейшую (нелинейную) нормализацию можно проводить различными
способами, например, при помощи классического преобразования Биркгофа или
способом, разработанным в работе [112], или каким-либо другим путем.
Нормальная форма будет различной в зависимости от того, есть резонансные
соотношения между coj и со2 или нет. В области
(2.2) устойчивости линейной задачи условие отсутствия резонансов до
четвертого порядка включительно
п1(й1 + ге2о>2 Ф 0 (0< | щ | + | п2 j <; 4)
нарушается в двух случаях: при [х = и р. = [х2. При р. = |хх имеет место
резонанс третьего порядка
о 2/5
со, = 2м2 = -г-=-,
а при |х = [х2 - резонанс четвертого порядка
128 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 7
Рассмотрим сначала нерезонансный случай, т. е. предположим, что р Ф рг (i
= 1, 2). Тогда нормализованная до членов четвертого порядка функция
Гамильтона будет иметь такой вид:
Н = а>1г1 - со2г2 + c20rl + СцГ+2 + согг\ + О {(г1 + г2)'/>).
Коэффициенты с1} получены Депри в статье [111]. Они имеют вид
<о|(124со}- 696соа +81)
