Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
задачи, три тела во все время движения образуют в абсолютном пространстве
равносторонний треугольник, длины сторон которого периодически
изменяются. В случае круговой задачи длины сторон треугольника постоянны.
Решение
(2.1) обозначается через L4. Симметричная относительно оси треугольная
точка либрации обозначается через L5.
Задача об устойчивости треугольных точек либрации L4 и L5, в
противоположность задаче об устойчивости прямолинейных точек Ьъ L2 и La,
оказалась чрезвычайно сложной. К настоящему времени полный завершающий
ответ на вопрос об устойчивости по Ляпунову треугольных точек либрации
получен не во всех случаях. Полное решение вопроса достигнуто только в
плоской круговой задаче. Но в плоской эллиптической задаче, в
пространственной круговой и пространственной эллиптической задачах
достигнуто значительное продвижение, так что практически и здесь задача
об устойчивости очень близка к полному завершению. Изложению и обсуждению
всех этих результатов посвящены настоящая и последующие три главы книги.
Но сначала изложим очень краткую предысторию решения задачи об
устойчивости треугольных точек либрации.
Необходимое условие устойчивости треугольных точек либрации круговой
задачи трех тел
Н - ~2~ (р\ + р\ + Pi) + - Рт|? +
+ o7T^^r(i2 + ri2 + ^)
е cos v
1
W. (1.3)
1 + е cos v
(2.1)
0<27р(1-(х)<1
упоминается, по-видимому, впервые в 1843 году в работе Гашо [134].
124
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
1ГЛ. 7
В 1875 году Payee [169] решил (в линейном приближении) задачу об
устойчивости треугольных точек либрации для неограниченной задачи трех
тел (когда масса тела Р не бесконечна мала, а равна некоторой конечной
величине, так что тело Р уже само влияет на движение двух других тел S и
/) и для произвольного закона притяжения. Рассмотрев плоскую задачу и
предположив, что притяжение тел пропорционально произведению их масс и
обратно пропорционально п-й степени расстояния между телами, Payee
показал, что при п^> 3 точки либрации неустойчивы. Если же п < 3, то
имеет место устойчивость при выполнении неравенства
Здесь т0, щ и - массы тел Р, S и J соответственно. Для случая
ограниченной задачи (т0 = 0) при ньютоновском притяжении (п - 2)
неравенство (2.3) переходит в условие устойчивости
(2.2). В 1889 году А. М. Ляпунов рассмотрел задачу об устойчивости в
линейном приближении треугольных точек либрации для случая неограниченной
пространственной задачи трех тел при притяжении тел, обратно
пропорциональном п-й степени расстояния между ними. Стороны треугольника,
образованного тремя телами в невозмущенном движении, А. М. Ляпунов не
считает постоянными, а они могут периодически изменяться. Результаты
исследования А. М. Ляпунова опубликованы в его замечательной работе [48].
Результаты, полученные Рауссом, следуют из результатов Ляпунова как
частный случай. В недавних работах А. Л. Куницына [34, 147] дана
интересная геометрическая интерпретация условия устойчивости (2.3) в
линейном приближении и сделана попытка получения некоторых строгих
выводов об устойчивости в нелинейной задаче.
Исследования А. М. Ляпунова по устойчивости в линейном приближении точек
либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел были
продолжены в работах [19, 42, 99, 103, 104, 110, 136, 144, 152, 153, 160,
161]. На результатах этих работ мы подробнее остановимся в главе 9.
Важный шаг в задаче об устойчивости точек либрации (в плоской
ограниченной круговой задаче) был сделан в 1959 году Литл-вудом [152,
153]. Он показал, что при начальном возмущении порядка е отклонение тела
Р от вершины треугольника будет иметь тот же порядок в течение интервала
времени, равного ехр (Аг~11г | log е|~3/4), где величина А зависит только
от [х.
Начало полному строгому решению задачи об устойчивости треугольных точек
либрации ограниченной задачи трех тел было положено в 1962 году в работе
А. М. Леонтовича [37], в которой для случая плоской круговой задачи
показано, что устойчивость точек либрации имеет место при всех р,
удовлетворяющих необхо-
(2.3)
g 31 ГАМИЛЬТОНИАН ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
125
димому условию устойчивости в линейном приближении (2.2), кроме, быть
может, множества значений |л, имеющего нулевую меру. В 1967 году Депри
показали [111], что это исключительное множество состоит всего из трех
значений р.
В недавнее время задача об устойчивости треугольных точек либрации
подробно была рассмотрена в цикле работ автора [56, 58, 59, 62-67]. К ним
примыкает также совсем недавняя работа А. Г. Сокольского [88]. Все
полученные результаты будут подробно изложены ниже. В этой главе проведем
исследование треугольных точек либрации в плоской круговой задаче трех
тел.
§ 3. Гамильтониан возмущенного движения
Сначала получим выражение для функции Гамильтона, описывающей движение в
окрестности, лагранжевой точки либрации Lt. Сделаем замену переменных
? = In + ?i. Л = Ло + ?а* ? = ?о + ?з,
Pi = Рбо + Pi" Рл = Рло + Ра" Pt = Pt о + Рз-
