Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
ц а_ф ix’ M + а (*) ф (х, Hj)
OX
= 2 щФ{х 1|1|) + С(д, 1(1д /= 1>2...N. (5.3)
I = 1
Эту систему связанных дифференциальных уравнений можно легко решить конечно-разностным методом, после того как определены граничные условия и характер задачи.
До сих пор ничего не говорилось ни о выборе системы направляющих косинусов (узлов) {м-j}, ни о связанных с ними квадратурных весах {&уг-}. Однако точность, которая достигается при решении уравнений (5.3) для данного N, в большой степени зависит от того, насколько хорошо сделан этот выбор. Обычно считается, что свойства Wi и |хг должны удовлетворять следующим разумным требованиям:
1) так как интеграл в уравнении (5.1) всегда положителен (пли неотрицателен), то требуется, чтобы Wi > О для всех і;
2) формулировка задачи должна быть симметричной относительно зеркального отражения. Другими словами, решение не должно зависеть от того, какая сторона плоскости рассматривается как правая, а какая — как левая*, поэтому предполагается симметричный выбор направлений и весовых множителей относительно |Х = О, Т. е. |Xj = —(Xyv+I _г И Wi = Wfii+t-i]
3) если Ф (лг, |х) представляет собой полином низкого порядка по |х, то квадратурная формула (5.2) должна давать точное значение интеграла. Это означает, что
і= і
(Фактически условие для нечетных п обеспечивается требованием 2).
Необходимо теперь рассмотреть значения п, для которых эти условия должны удовлетворяться. Предположим, что N четное. Тогда имеются N значений [Aj и N значений Wi или всего 2N параметров, которые требуется определить. Условие 2) означает, что только N из этих величин независимые. Если имеется N независимых параметров для выполнения условия 3) с четным числом п, то можно удовлетворить этому условию для п = 0, 2, 4, ..., 2N — 2,
* Если в частном случае известно, что поток нейтронов обладает высокой степенью асимметрии, то может оказаться полезным использовать несимметричные квадратурные схемы. Например, если поток имеет максимум вблизи ,U = 1, то полезно иметь дискретные .направления, тесно расположенные в окрестности = 1 [4].
2
---- для четных п\
п + 1
О для нечетных п.
170
но не более. Если сделан такой выбор значений п, то |х* и Wi будут определены единственным образом [5], при этом все весовые множители положительны и удовлетворяют условию 1). Однако нет необходимости удовлетворять условию 3) для такого большого числа п (с четными п)\ в этом случае существует некоторая свобода выбора других условий.
5.2.2. МЕТОДЫ ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ
И СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
Прежде чем приступить к изучению некоторых специальных наборов величин (Xj, Wi, рассмотрим соотношение между методами дискретных ординат и сферических гармоник. В методе сферических гармоник входящие в уравнение интегралы имеют вид [см. уравнение (2.58)]
і
Ф п (X) = $ Ф (х, (i) Pn (ц) dQ = 2л J Ф (х, ц) Pn (ц) dp.
— і
Эквивалентные величины для метода дискретных ординат определяются с помощью квадратурной формулы, как в уравнении (5.2). Таким образом,
__ N
0„(*)= 2я 2 ш,Ф(*, iit)/>n(n,). (5.4)
i=i
где символ фп (х) используется для обозначения приближения к фп (х), которое получается из квадратурной формулы.
Для нахождения уравнений, которым удовлетворяют фп (х), умножим уравнение (5.3) на 2л (2п + I)wjPn (Mj) и просуммируем по всем /. С помощью рекуррентного соотношения для полиномов Лежандра и требования 3), приведенного выше для всех n < W — 1, получим следующий результат:
(„++(2«+ l)or(x)[l—C(X) 60ї1] фп = ах ах
= (2л+1)QnM, л = 0, 1, 2,..., N— 1, (5.5)
где
_ N
Qn(X)= 2л 2 Q (JC, M-*) (м-і).
I = I
a S0n — дельта-символ Кронекера.
Необходимо отметить, что (5.5) представляет собой систему N уравнений, отобранных особым образом, так как имеется только N возможных независимых значений Ф (лг, |хг), т. е. для я ^ N фп можно выразить через совокупность <?»> С n < W— 1 следующим образом. Если фп известны для п ^ N — 1, то
можно решить уравнения (5.4) для Ф (х, {хг) с і = 1, 2......N и затем найти
фп из уравнения (5.4) для любого N.
Сравнение уравнения (5.5) с соответствующим уравнением метода сферических гармоник (2.59) показывает, что фп (*) удовлетворяет такой же системе уравнений, как и фп (х) в методе сферических гармоник.
В разложении потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам число членов ограничивается в предположении, что для Pn-!-приближения dф N (x)!dx — 0. Такое или эквивалентное ему (см. разд. 2.4.2) ограничение требуется для того, чтобы иметь число неизвестных функций фп, равное числу связывающих их уравнений, т. е. уравнений (2.59). Ho для системы уравнений (5.5) нельзя просто положить d ф N (x)/dx = 0, так как ф n можно вычислить на основании Ф(дг, |хг) с помощью уравнения (5.4) и, следовательно, определить d</>Ar/dx» которое, вообще говоря, отлично от нуля. Однако в случае специального выбо-
171
ра |хг, а именно выбора такой совокупности {|лг}, которая обращает в нуль полином Pn (ц), т. е.
PN(Vi) = о, (5.6)
величина d(pN (x)/dx автоматически равна нулю. Система уравнений (5.5) для изотропного рассеяния в этом случае идентична конечной системе уравнений метода сферических гармоник.
