Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
4.4.4, но роль vF теперь играет источник q.
Приведенные в табл. 5.2 значения дают зависимость критических размеров (полутолщин) пластин без отражателя, выраженных в единицах средних длин свободного пробега нейтронов, от с. Результаты получены с помощью простого Pn—v и двойного Р^/г-і-приближений, использующих гауссовы квадратуры с различным числом угловых направлений N. В численных расчетах пространственная сетка содержит в каждом случае 4N интервала с равным шагом. Для сравнения в табл. 5.2 приведены результаты точных расчетов. Видно, что двойное Рдгприближение дает поразительно высокую точность.
Было проведено также сравнение критических полутолщин пластин, полученных методом дискретных ординат, с результатами расчетов критических размеров «точным» методом разделения переменных (см. гл. 2) для анизотропного рассеяния [14]. С этой целью угловое распределение рассеянных нейтронов принималось таким же, как и для водорода, и в обоих методах в разложениях по угловой переменной были оставлены два или три члена. Рассматривались различные отношения сечений анизотропного и изотропного рассеяний. При использовании большого числа пространственных точек, а именно 75, и квадратурной схемы двойного Р7-приближения, т. е. N = 16, результаты, полученные методом дискретных ординат, обычно согласуются с «точными» значениями в пределах 0,01%. В большинстве случаев согласие было даже еще лучшим.
Таким образом, используя метод дискретных ординат высокого порядка, можно получить в плоской геометрии результаты, обладающие высокой точностью. Интересно отметить, что даже для наиболее сложного закона рассеяния время, необходимое для решения задачи такого типа на современных вычислительных машинах, не превосходит одной минуты.
Квадратурная формула Гаусса для приближенной оценки интеграла в уравнении переноса дает достаточно точные результаты при относительно небольшом числе членов разложения. Однако эта формула не является единственным возможным выбором направлений и весовых множителей для представления углового распределения потока нейтронов. Были предложены и другие схемы, в частности, можно отметить схему, в которой направления выбираются таким образом, что они расположены с равным шагом по ц2. Подобный выбор направлений имеет некоторые полезные свойства симметрии при обобщении результатов для двух- и трехмерных систем (см. разд. 5.3.3).
177
5.3. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ ДЛЯ ОДНОСКОРОСТНЫХ ЗАДАЧ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ
5.3.1. ВВЕДЕНИЕ
Ранее отмечалось, что при решении задач в криволинейной геометрии возникает проблема, связанная с тем, что параметры, характеризующие направление движения нейтрона, меняются при прохождении нейтрона через среду без столкновений. Следовательно, вводится дополнительная связь между уравнениями, описывающими движение нейтронов в дискретных направлениях. Рассмотрим сферическую геометрию, хотя описанный метод применим также к другим криволинейным геометриям.
В сферической геометрии односкоростное уравнение переноса можно записать в следующем виде (см. разд. 1.3.1):
дф(г, t.) + J_ ! _ + о Ф =
dr г Ofi
где источник q (г, jx) может включать анизотропно рассеянные нейтроны и анизотропные источники, как обсуждалось в предыдущем разделе. Он рассматривается таким же образом, как и в плоской геометрии, поэтому здесь не будет анализироваться подробно. Для всякой другой геометрии единственное отличие состоит в том, что источник рассеяния не является просто суммой полиномов Лежандра, а содержит сферические гармоники, наличие которых, как отмечалось в разд. 3.3.5, обусловлено тем, что отсутствует азимутальная симметрия, которая позволила бы исключить соответствующие слагаемые при использовании теоремы сложения полиномов Лежандра.
В сферической геометрии возникает новая проблема, связанная со способом приближенной оценки второго члена в левой части уравнения (5.15) и особенно производной дФ/др. Были предложены различные варианты [15], большинство из которых включает в себя связь между потоками Ф (г, (Xi) для различных значений |хг. Например [16], можно использовать уравнения (5.4) и (5.7) с заменой х на г, чтобы записать
Ф (г, И) « 2 Рп M 2 Wi Ф Рп
п = О і = I
так что
дф
d(.i
N-I
2п + 1 дРп (н)
« У
M-=M-; 2 du
1 п = 0 г
N Г N-I
N
і = I |_п=0
dfi
Ц=|Х
Щ Pn(Pi)
Ф (г, |Х,).
(5.16)
Можно показать, что такой выбор дает метод дискретных ординат, эквивалентный методу сферических гармоник в сферической геометрии, описанному в разд. 3.3.1.
Карлсон в своем S^-методе предложил простую процедуру [17]. Зависимость Ф (г, |х) от (х аппроксимировалась у него системой связанных прямолинейных отрезков между jx = —1 и (х = 1, что обусловило название метода (от слова segment). В одномерных геометриях индекс N означает число отрезков, выбранных для представления углового распределения потока нейтронов. При числе отрезков N рассматривается N -J-1 дискретное направление, включая (х = —і и jx = 1. Нарис. 5.2 действительное распределение между |х = —1
