Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если условие отражения существует на обеих поверхностях, т. е. при X0 И Хк, то можно принять несколько более общий метод решения. Например, можно рассмотреть последовательности -^N задач, где для п-й задачи граничное
условие при X0 имеет видФ (х0, iij) = 6Jfjl, где 6Jin—дельта-символ Кронекера. Выбирая соответствующую линейную комбинацию этих условий, можно удовлетворить граничному условию отражения
Ф (?. Ц/) = Ф (*о. -Vj) ¦
Отметим некоторые важные свойства уравнений (5.12) и (5.13).
Во-первых, уравнение (5.12) должно использоваться для положительных jxy, а уравнение (5.13) — для отрицательных. В обоих случаях коэффициент перед Ф в правой части уравнений всегда меньше единицы. Как следствие, ошибки в значениях потока Ф, которые могут возникать при численных оценках, т. е. при округлениях, скорее будут уменьшаться, чем возрастать, в результате повторного применения уравнений. В более общем виде задача состоит в том, что при интегрировании по направлениям для уменьшения накопления численных ошибок необходимо проводить эту процедуру вдоль направления перемещения нейтронов. Для [А > 0 интегрирование должно вестись в направле-
175
нии от Xk к xfc+1, как в уравнении (5.12), в то время как для jx С 0 это направление должно быть выбрано от хк+1 к Xk, как в уравнении (5.13).
Во-вторых, следует учитывать, что если величина Д велика по сравнению с |2[Х;|/а, то множители перед Ф в правой части уравнений (5.12) и (5.13) становятся отрицательными. Если величина q мала, то это приводит к отрицательным значениям потока Ф, что нежелательно как с физической точки зрения, так и для численных расчетов. В действительности множитель в уравнении (5.12) представляет собой просто приближенное значение ехр (—аД/[Ху), и поэтому величина Д не может быть выбрана слишком большой без потери точности счета. Чтобы показать это, рассмотрим уравнение (5.12) в отсутствие источника, т. е.
= <514>
1 +аД/2ц,у
Уравнение переноса без источника для [х = |х;- имеет вид
дФ'д1 ^ + оФ(х’ PJ = 0>
так что после деления обеих частей на (Ху и введения интегрирующего множителя ехр §—dx можно свести это уравнение к виду
_д_
дх
Ф(х, |лЛ ехр \ — dx'
J V-J
V-J
В результате интегрирования в интервале от Xk до xk+1 имеем
Ф (**+!. = ехр ( О Д/(Xy) Ф (xk, (Xi).
Сравнение полученного результата с уравнением (5.14) показывает, что множитель перед Ф (xk, (Xy) в этом уравнении и, следовательно, в уравнении (5.12) является приближением для ехр (—аД/(Ху). Хотя эта приближенная оценка недостаточна, когда величина Д слишком велика, однако погрешность составляет лишь 1% при значении аД/(Ху = 0,5.
Когда число угловых направлений N возрастает, некоторые значения (Ху вблизи (хл//2 приближаются к нулю. Следовательно, необходимо одновременно увеличивать число пространственных точек, т. е. уменьшать Д, чтобы избежать бОЛЬШИХ ЗНаЧеНИЙ О Д/|Хдг/2.
Представленная выше система конечно-разностных уравнений может привести к отрицательным значениям потока нейтронов, следовательно, она не соответствует положительному оператору (см. разд. 4.4.3). Значит, нельзя использовать теорию таких операторов для установления существования собственных значений и ускорения сходимости, как для многогрупповой диффузионной теории в разд. 4.4.6. Чтобы обеспечить положительные значения потока, использовались другие конечно-разностные схемы [11], однако было установлено, что они обычно являются менее точными, чем приведенная выше.
5.2.7. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ
Используя описанную выше процедуру, можно решить-односкоростное уравнение переноса методом дискретных ординат. Такая односкоростная задача обычно возникает при изучении группы нейтронов в многогрупповом расчете (см. разд. 4.3.2) и рассмотрена в разд. 5.3.5. Метод дискретных ординат можно также использовать для решения простых односкоростных тестовых задач. Таким образом, можно оценить точность метода для различ-
176
ных способов выбора квадратурных коэффициентов. В качестве примера в табл. 5.2 приводятся рассчитанные значения критических толщин голых плоских реакторов. При проведении этих расчетов применяется итерационный метод, описанный в разд. 5.2.6, с единственным отличием: поскольку внешний
Таблица 5-2
Критические полутолщины пластин, рассчитанные с использованием гауссовых квадратур [12, 13]
(в единицах средних длин свободного пробега).
с P N _ I -приближение Двойное pN/2- I-приближеиие Точ- ное зна- чение с pN — I -приближение Двойное pN/2- I-приближеиие Точ- ное зна- чение
N=2 N=4 N=6 N=4 N=6 N=2 N=4 N= 6 N=4 N=6
1,02 1,05 1,10 5,836 3,496 2,315 5,687 3,321 2,136 5,675 3,308 2,121 5,670 3,299 2,107 5,668 3,301 2,114 5,665 3,300 2,113 1,20 1,40 1,60 1,487 0,920 0,680 1,319 0,778 0,559 1,299 0,750 0,530 1,278 0,723 0,503 1,290 0,736 0,510 1,289 0,737 0,512
источник отсутствует, то критическая толщина варьируется до тех пор, пока не сойдутся итерации. Процедура аналогична той, которая описана в разд.
