Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
178
I ф(м)
// // // / !/ // /7 // І/
I I
и (д, = 1 представлено пунктирной кривой, и оно аппроксимируется четырьмя отрезками, так что в этой одномерной системе N = 4. Очевидно, чем больше число направлений, используемых для описания углового распределения потока нейтронов, тем лучше приближение.
Используя такое представление в уравнении (5.15) и интегрируя по каждому интервалу (х, получаем явные выражения, которым должны удовлетворять значения Ф в узловых точках.
В этом приближении единственными свободными параметрами являются дискретные значения |а, характеризующие выбранные направления. Впоследствии оказалось, что полученные таким образом уравнения были лишь частным случаем более общей постановки задачи в рамках метода дискретных ординат, которая обсуждается ниже [18].
-у
О 1
JJ
Рис. 5.2. Аппроксимация истинного углового распределения потока нейтронов прямолинейными отрезками.
5.3.2. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
В криволинейных геометриях существуют выделенные направления, вдоль которых угловые переменные не меняются при перемещениях нейтронов. Для сферической геометрии эти направления имеют место при jx= —I и (А = +I, в зависимости оттого, как направлено движение нейтронов— по прямой к центру или от центра соответственно. Для этих значений ц коэффициент (1 — (а2)/г перед дФ/д|А в уравнении (5.15) равен нулю,и для известных значений источника q уравнение можно решить точно, как в плоской геометрии [в начале координат нейтрон может скачкообразно изменить направление своего движения от (а = —1 до (а = 1, однако это можно интерпретировать с помощью условия симметрии (см. разд. 5.3.4)]. В криволинейной геометрии решения в этих выделенных направлениях можно применять в качестве граничных условий на угловую зависимость потока нейтронов, однако они обычно не используются при оценке интегралов для определения членов источника. На практике в сферической геометрии обычно рассчитывают Ф (г1э—1) с учетом граничных условий на внешнем радиусе, интегрируя уравнение (5.15) численно в предположении, что источник q (г, ja) известен.
При выводе численного приближения к уравнению переноса очень полезен принцип, состоящий в том, что конечно-разностное уравнение для элемента фазового пространства должно удовлетворять закону сохранения нейтронов в этом элементе. Каждый член в уравнении должен представлять физическую компоненту, входящую в закон сохранения, такую, как поглощение в элементе или ток нейтронов через поверхность. Когда конечно-разностные уравнения составляются с учетом закона сохранения, то они всегда более наглядно интерпретируются и обычно более точны по сравнению со случаем, когда производные просто заменяются конечными разностями. Кроме того, в отсутствие такого принципа возможные кокечно-разностные уравнения оказываются настолько многочисленными, что сделать хороший выбор иначе, чем методом проб и ошибок, очень трудно. Именно по этой причине уравнение переноса в разд. 1.3.2 выражено в дивергентной форме.
Чтобы применить закон сохранения, уравнение (5.15) можно переписать в соответствии с уравнением (1.35) в виде
jT-T ('•“Ф)+— 1(1-|**)Ф]+вФ = ?, (5.17)
гг дг г др
179
где для простоты аргументы г, ц опущены. Как показано в разд. 1.3.2, интегрирование первого члена в левой части уравнения (5.17) по всем направлениям и ограниченному объему дает результирующий ток нейтронов наружу, а второй член в результате интегрирования обращается в нуль.
Тот же самый результат и закон сохранения можно получить, интегрируя уравнение (5.17) в пространстве г, ц. Таким образом, при интегрировании по объему от г і до лі+1 [т. е. (5.17) умножается на 4л г2 и интегрируется по г от г і до ri+l ) и по всем направлениям [т. е. (5.17) умножается на 2л и интегрируется по (х от — 1 до 1] первый член в уравнении (5.17) становится равным
— радиальный ток нейтронов в точке г = rt\ Ai+1 и Ji+1 имеют соответственно тот же смысл в точке л = ri+1. Второй член в левой части уравнения (5.17) после интегрирования по выделенному объему и всем направлениям обращается в нуль.Следовательно, конечный результат интегрирования можно записать так:
так как q представляет собой источник нейтронов, а Оф—убыль нейтронов при различных столкновениях. Таким образом, уравнение (5.19) является наглядным выражением закона сохранения. Результирующая скорость, с которой нейтроны выходят из выделенного объема, равна скорости их появления за счет источника минус потери при взаимодействии (столкновениях) с ядрами
за исключением того, что интегрирование будет проводиться по ограниченному интервалу переменной |х. Рассмотрим сетку переменных л, |Л, приведенную на рис. 5.3, где совокупность переменных {п} выбирается таким образом, что счетные точки размещены на границах между зонами, а сечения предполагаются постоянными внутри интервала гг-, лг+1; точки ц,п, jxn+1 и т. д. выбираются так, чтобы они совпалп со значениями ц в квадратурной формуле уравнения (5.2).
Рассмотрим область, ограниченную значениями гп ri+1 и |xn-i/2, Hn+1/2, как показано на рис. 5.3; ці/2 выбирается равным — 1, так что вдоль этого выделенного направления уравнение переноса можно решить методами плоской геометрии. Кроме того, для N-точечной квадратурной формулы |і#+і/2 должно в этом случае быть равно 1.
