Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
При развитии этого метода возникают некоторые новые и важные проблемы. К ним относятся: 1) выбор конкретных дискретных направлений; 2) аппроксимация интегралов по угловой переменной; 3) аппроксимация производных от потока нейтронов по компонентам угла Й, появляющихся в уравнении переноса в криволинейных геометриях (см. разд. 5.3.1, 5.3.2). Эти проблемы рассмотрены в настоящей главе, но с самого начала можно констатировать, что не существует их единственных решений. Отсутствие единственности решения, однако, не является неожиданным. В Рдгприближении выбор энергетических групп и пространственной сетки также не однозначен, но должен основываться на физическом понимании задачи и опыте. Te же самые факторы определяют выбор направлений и других параметров в методе дискретных ординат.
Чтобы уменьшить сложности, связанные с обозначениями, удобнее начать рассмотрение с односкоростного уравнения переноса. Затем рассмотреть решение зависящей от энергии задачи с помощью многогрупповых методов. Как и в гл. 4, это решение включает в себя систему связанных односкоростных дифференциальных уравнений. Определение приемлемых групповых констант вновь оказывается основным требованием для получения удовлетворительного решения.
5.1.2. ПЛОСКАЯ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
Изучение метода дискретных ординат для решения одно-скоросгного уравнения переноса начнем с рассмотрения плоской геометрии. Это связано не только с тем, что такой случай является наиболее простым и представляет большой практический интерес, но также и с тем, что такое рас-
168
смотрение является идеализацией некоторых решеток. Именно при рассмотрении односкоростной задачи в плоской геометрии особенно ясно можно установить соотношение между методами дискретных ординат и сферических гармоник,, используемыми для представления углового распределения потока нейтронов.
Отличительной чертой плоской геометрии (или в общем случае декартовой системы координат) является то, что описание направления движения нейтрона с помощью, например, косинусов соответствующих углов остается неизменным; при прохождении нейтрона через среду без столкновений. В плоской геометрии, следовательно, остаются только две из названных выше проблем, т. е. выбор направления и аппроксимация интегралов.
В криволинейной геометрии, т. е. в сферической или цилиндрической системе координат, ситуация отличается от случая плоской геометрии, и помимо отмеченных выше проблем необходимо приближенно оценить производные по углу в уравнении переноса. Эти производные появляются в связи с тем, что при прохождении нейтрона через среду без столкновений параметры, характеризующие направление движения нейтрона, непрерывно меняются в криволинейной геометрии. Следовательно, член Й-УФ в уравнении переноса будет содержать производные по компонентам угла й. Предположим, например, что направление движения нейтрона в сферических координатах описывается ц, — косинусом угла между радиусом-вектором и направлением движения нейтрона; тогда очевидно, что (л возрастает непрерывно по мере того, как нейтрон проходит через... среду (рис. 5.1). В заключительном разделе данной главы показано, как эта проблема решается в рамках S^-метода.
Можно рассмотреть еще одно приближение, в котором движение нейтрона описывается не относительно локальной системы координат, а относительно фиксированного направления в пространстве. Это приближение эквивалентно рассмотрению характеристических направлений в интегральной форме уравнения переноса (см. разд. 1.2.2). Были получены численные решения интегрального уравнения или, что то же самое, решения уравнения переноса методом характеристик Ш; в настоящей книге эти решения не рассматриваются.
5.2. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ ДЛЯ ОДНОСКОРОСТНЫХ ЗАДАЧ В ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
5.2.1. ИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ
Метод дискретных ординат (или дискретных направлений) в плоской геометрии был впервые предложен и подробно разработан для изучения проблем переноса излучения в атмосфере звезд [2,3]. В этих исследованиях применялся специальный выбор направлений и особый метод численного интегрирования, использующий квадратурную формулу Гаусса (см. разд. 5.2.3). В представленном ниже рассмотрении сначала описан более общий метод.
Односкоростное уравнение переноса в плоской геометрии для изотропного рассеяния и произвольного источника можно записать (см. разд. 2.1.3) в сле-
P и с. 5.1. Изменение направляющего косинуса нейтрона, проходящего через среду без столкновений.
169
дующем виде:
Цд-(Хд’х |Л) + а(лг)Ф{х, ц) = fifllW J ф (*, ц') dp’ +Q{xtii). (5.1)
—і
Рассмотрим это уравнение Для набора дискретных направлений {)х*}; если интеграл в уравнении (5.1) оценивать численно с помощью квадратурной формулы, то можно получить систему связанных дифференциальных уравнений первого порядка относительно Ф (х, {хг-), которые эквивалентны уравнению (5.1). Таким образом, если интеграл представить в виде
1 N
Ф (х, fx') Ф' ~ У\ Wi ф (х, (if), (5.2)
где Wt — квадратурные веса (или весовые множители), то уравнение (5.1) преобразуется к виду