Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
5.2.5. АНИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ
Для анизотропного рассеяния приведенное выше рассмотрение должно быть модифицировано. Если рассеяние зависит только от косинуса угла рассеяния в лабораторной системе координат ц„, то правую часть уравнения (5.1), которая будет обозначаться здесь q (х, (л), можно записать в виде
q (х, ц) = с (X) Jj of (х, цо) Ф (х, її') dQ' + Q (х, ^). (5.8)
173
Раскладывая а/обычным образом в ряд по полиномам Лежандра (см. разд. 4.2.2) и интегрируя по всем азимутальным углам (что дает множитель 2я), получаем
0 (*» Н) =2 (2/ + 1) сгг (fx) J />,(ц');Ф(х,ц')гі|і'-{-<г(*,ц). (5.9>
I=О -I
В результате использования квадратурной формулы [уравнение (5.2)} правая часть уравнения (5.9) становится равной
,(л, (2/+1)(7, PlOnl) X
I=о
N
X 2 Wi P1 ([Ai) Ф (х, [Ai) + Q (х, Hj). (5.10)
1=1
На практике суммирование по I ограничено некоторым числом L; поэтому для проведения суммирования необходимо определить L сечений Oi. В других отношениях процедура такая же, как и для изотропного рассеяния.
Для сравнения с уравнениями метода сферических гармоник умножим вновь уравнение (5.3) с правой частью, "определяемой уравнением (5.10), на WjPn ([Xy) и просуммируем по всем /. Если используются гауссовы квадратуры с N направлениями, то так как схема является точной для полиномов порядка 2N — 1,
N 2/ + 1
2 Wj Pn ы —-Z-'Pi (JJty) = Ьщ для / + п < 2N — 1,
/=1 А
где Sin —дельта-символ Кронекера. Следовательно, при условии, что I + /г^ <^2N— 1, в правой части полученного уравнения будут такие же члены, как и в разложении в ряд по сферическим гармоникам. Если, однако N ,то
присутствуют дополнительные члены, хотя они редко имеют какое-либо значение. Таким образом, с одним небольшим исключением, методы дискретных ординат Гаусса и методы сферических гармоник для анизотропного рассеяния оказываются эквивалентными.
5.2.6. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ
При описании метода решения системы уравнений (5.3) предполагается, что задача слишком сложна для того, чтобы имело смысл искать ее решение в явном виде, поэтому будем решать ее численно. Первый этап решения, как и в гл. 3, — введение пространственной сетки, т. е. системы дискретных значений переменной х, а именно хк, где k = 0, 1,2..........К, таким об-
разом, что левая граница системы находится в точке х0, а правая — в точке х^. Как правило, пространственная сетка выбирается так, чтобы счетные точки лежали на всех поверхностях раздела, которые могут присутствовать в системе. Члены, содержащие производные потока, представляются тогда с помощью конечных разностей в следующем виде:
дФ(х. [Ху) ^ Ф(*ы-1, M — Ф (Xk, М-у)
дх х==хк+1/2 xh+1 — Xk
где хк+1 /2 — средняя точка между Xh И xh+v Т. е. Xk+1/2 = (1/2)(^ft +'VfcT1). Если, как и раньше, правую часть уравнения (5.3) обозначить q (х, (х^), то с учетом ВОЗМОЖНОСТИ анизотропного рассеяния ЭТО уравнение В точке */г+1/2 можно представить в виде
Ф (хHj)-Ф (Xk W).. + g(j[t+1 ;а) Ф (ДГы.,;а, Hj) = q(xt+1 /г, Hj). (5.11)
Xk+1 -Xk
174
В соответствии с уравнением (5.3) или (5.10) q (xk+1/2, |х^) зависит от Ф (*/4-1/2» M-;) и, по крайней мере, для небольших N эта зависимость достаточно проста, чтобы можно было быстро решить уравнение (5.11) относительно Ф (х, ц;) (91. Здесь же будет описан более общий метод решения с помощью итераций, поскольку он применим также и к более сложным случаям, таким, как двухмерные задачи в криволинейных геометриях. Точно такая же, как описанная ниже, процедура может быть использована для любого числа направлений N', это дает большие преимущества методу дискретных ординат.
Начнем с того, что предположим функцию <7 (х, |х^) известной; величина ее на первом этапе выбирается некоторым произвольным образом, а в последующем вычисляется на основании результатов каждой предыдущей итерации. Член Ф (хк+112, M-;) обычно исключается представлением его в виде средней величины потоков в двух соседних точках Xk и хк+1:
Ф(*,+,/2. |1,)» ?<Хк' 1У>+»(*<.+¦¦>у) .
Вводя это выражение в уравнение (5.11), можно решить получившееся уравнение относительно Ф (xk+1, (X7) уерез Ф (xk, (Xy) и наоборот. Если записать Л.Ч-І/2 — xk+i — xk li опустить индексы, то из уравнения (5.11) найдем, что
Ф(*.+„М = -JL- (для „,>0); (5.12)
ф»'>-M-т <для ^<0)-(5ЛЗ)
В случае границы с вакуумом поток нейтронов Ф (х0, |ху) равен нулю для
всех положительных значений [.Iy-. Следовательно, для положительных j.iy Ф (xk.Hj) можно найти последовательным применением уравнения (5.12). Аналогично поток Ф (Xk, |ху) равен нулю для всех отрицательных значений |ху, и для определения Ф(хк, (Xy) в этом случае можно использовать уравнение (5.13). Величину q , т. е. q (Xk+112, |ху), можно пересчитать на каждом этапе и решать задачу методом итераций. Существуют различные способы ускорения сходимости этого метода [10].
Если на границе х = Xk существуют условия отражения нейтронов, то Ф (лг/с, (Xy) можно найти для отрицательных значений |ху, полагая Ф (хк, |ху) = Ф (Xf{, [Xy).
