Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что уравнение (5.17) интегрируется по выделенной области. Тогда разность между членом источника (q) и членом столкновений (аФ) становится равной
4л(лі+1)22л ^ (хФ (ri+1, (x) d|x—4л (л?) 2л ^ |хФ (rit (x) djx
-і
-і
— ^г+1 J г + 1 A j J і, где Ai = Anr2i — площадь поверхности радиусом rt и
(5.18)
і
Ji = 2я Jj (иФ (rh |x) d|x
— і
гі+і 1
Ai+lJi+1 — AiJi = 8л2 jj /-2Clr ^ (q—аФ)гіц
= ИСТОЧНИК —сток
(5.19)
5.3.3. ВЫВОД КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Будем и далее следовать приведенной выше процедуре,
М-П-І/2
г.
— оФ(г, Hn)]dr = 2nwnV[q{ri+]/2, Нп) — оФ(гі+і/2, Цп)1.
где V = -|-л (л,?+! — л?) — рассматриваемый объем.
180
При оценке интеграла по ц использовался один член квадратурной форму-
^п+1/2 _ __
лы, т. е. j f (|x)d|x ^ wnf (|xn), a q и Ф — соответственно источник и по-
Vn- 1/2
ток нейтронов, усредненные по рассматриваемому объему, например,
Я (гі +1 / 2, К) ~ \ r2q (г, [хп) dr.
г + 1
Вернемся к первому члену левой части уравнения (5.17). Его можно проинтегрировать, используя такое же приближение для интеграла по ц. В результате получим
2пшп^М1+1Ф(г,+1, (О — AlOirlt [An)].
Второй член можно проинтегрировать сначала по ограниченному интервалу (х, а затем по объему:
гі+і
8л2 /-[(1 — цХ+І/2)Ф(г, м-л+і/г)—(1— [Лп_і/2)Ф(г, \in-M7)]dr.
ri
Это выражение можно аппроксимировать различными способами, но проще всего представить его в виде
2л ['ап+1/2 Ф(г, + ]/2, (J<n +1/2) — ап-\/2Ф(гі + і/2, М-п— і/2)]»
где коэффициенты ап±]/2 должны быть определены. Тогда конечно-разностное уравнение, получающееся при интегрировании односкоростного уравнения переноса (5.17), примет вид
^ігИі+іФ^І+l. Цп) — Ф ('і, M-n)] +
I an+]/2® (ri+l/2> ^n+l/2) — ап-1/2Ф(гі+]/2' l*»i-l/2) _y(^y сф)_ (5 20)
VJr
Для определения коэффициентов an+i/2 рассмотрим бесконечную среду, в которой поток нейтронов постоянен и изотропен. Такое условие осуществляется, по крайней мере приближенно, вблизи центра большой среды. В этом случае отсутствует результирующий ток нейтронов, И закон CO- Ми+Ц2 хранения требует, чтобы q = аФ.
Так как уравнение (5.20) должно согласовываться с этим предельным выражением, необходимо, поскольку все значения Ф предполагаются одинаковыми, выполнение условия I
M1U (^i + 1 ^i) ч,
= ---fln+I/2 + fln—1/2» (5.21) Jin+ 1
представляющего собой рекуррентное соотношение, ИЗ КОТО- Mn
рого можно определить значение ап+\/2. если известно ап-\/о-
Покажем теперь, ЧТО коэф- Jn-у фициентаі/2 должен быть равен -1-^-мц нулю. Тогда, если такой выбор
9*- Г
Ч+ У12
сделан, все последующие значе- Рис. 5.3. Часть пространственной сетки в прост-ния коэффициентов а можно ранстве (г, ц).
181
определить с помощью уравнения (5.21). Предположим, что уравнение (5.20) умножается на Wn и суммируется по всем значениям п, где «=1,2, ..., N для N-точечной квадратурной формулы. Согласие полученного выражения с уравнением (5.19) можно получить, если сумма членов, содержащих а, равна нулю. Таким образом,
N
2 №n + 1/2 Ф {Гі+ 1/2» Mu+I/2) — Q-n— 1/2 Ф(^і+ 1/2, (Xu — 1/2)]“-
u= I
= —Я1/2 Ф (г, 1^1/2) + ^+1/.2^(^, M-yv+1/2) = 0. (5.22)
Этот результат должен быть справедливым при любой форме зависимости потока Ф от г и (х. Следовательно, необходимо, чтобы
^1/2 = ^+1/2 = 0.
Между прочим, для симметричной квадратурной схемы, которая почти всегда и применяется, коэффициенты а]/2 и аЛ'+1/2 должны быть в любом случае идентичны.
При а\/2 = 0 уравнение (5.21) для п = 1 дает
а3/2=-Pi Щ [A^1-Ai).
Аналогично можно получить соотношение для п = 2 и т. д. Необходимо отметить, что ап+1/2 зависит не только от п, но также и от і. Поскольку разность Ai+l— A1 всегда положительна, а (Лг С 0, то коэффициент аз/2 положителен. Используя повторно уравнение (5.21), можно видеть, что an+i/2 всегда будет положительным при условии, что (хп < 0. Однако, когда |хп > 0, то п в уравнении (5.21) полагается равным N, и так как а^+і/2 = 0, то из этого следует, что коэффициент ап_і/? положителен. То же самое будет справедливо для аЛ'-з/2 и т. д. Таким образом, установлено, что все значения а положительны.
Если бы для определения ап+1/2 не использовалось уравнение (5.21) и интеграл от второго члена в уравнении (5.17) аппроксимировался другим способом, то можно было бы показать, что численное решение не приведет к изотропному потоку в центре сферы. В остальном полученные конечно-разностные уравнения могут быть почти такими же точными, как и приведенные выше. Однако обычно желательно вводить как можно меньше допущений при получении конечно-разностных уравнений. В действительности даже для приведенного выше приближения поток в центре сферы не является в точности изотропным [19].
Члены в уравнении (5.20) можно интерпретировать следующим образом. После умножения на Wn первые два члена в левой части уравнения представляют собой токи нейтронов через поверхности радиусами ri+1 и rt в п-м интервале (х. Члены, содержащие коэффициенты а, описывают переход нейтронов иг интервала направлений п — 1/2 в интервал п и из п в п + 1/2 соответственно; члены в правой части уравнения представляют собой, естествен но,источники И стоки нейтронов.
