Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ранее отмечалось, что полученные здесь конечно-разностные уравнения не являются единственными, которые можно использовать для аппроксимации исходного дифференциального уравнения (5.17). Приведенные выше уравнения оказываются более предпочтительными по следующим причинам: а) при их выводе используются некоторые общие принципы; б) изучение можно легко распространить на другие геометрии, для которых уравнение переноса представлено в гл. 1 в дивергентной форме, и в) установлено, что полученные результаты оказываются более точными, чем те, которые даются другими разностными уравнениями. Необходимо отметить, что возможные разностные схемы не были исчерпывающе изучены. Например, вариационный подход к решению, изложенный в конце гл. 6, не рассматривался вплоть до 1968 г. [21].
В рамках метода дискретных ординат в сферической геометрии можно пользоваться любыми квадратурными формулами и весовыми множителями, упомянутыми в связи с решениями задач в плоской геометрии, например гауссовыми квадратурами. Из результатов, представленных в табл. 5.3 [22] для критического радиуса голой сферы, выраженного в единицах средних длин свободного пробега, нетрудно получить некоторые сведения относительно точности, которую можно достичь в таких расчетах, используя квадратурную формулу и граничные условия Марка. Как и в табл. 5.2, пространственная сетка состояла из 4N равных интервалов, где N — число дискретных направлений. В первоначальном S^-методе N представляло собой число отрезков (см. разд. 5.3.1), однако в описанном здесь модифицированном методе N — число направлений.
Из табл. 5.3 видно, что высокая степень точности может быть достигнута, когда N велико. Удивительно точные значения критического радиуса, отличающиеся от точного в пределах 1%, возможны, однако, и с N = 4, т. е. в 54-приближении для всех значений с, приведенных в таблице. Из всех возможных делящихся материалов наибольшее значение с = 1,6 появляется при одногруп-
L84
Таблица 5.3
Критические радиусы сфер, рассчитанные 5дгметодом с использованием гауссовых квадратур
(в единицах средних длин свободного пробега)
с сч Il Il OO Il Й; N=16 Точное значе- ние с сч Il Il OO Il N= 16 Точное значе- ние
1,02 1,05 1,10 11,917 7,153 4,750 12,028 7,261 4,850 12,031 7,273 4,866 12,032 7,276 4,871 12,027 7,277 4,873 1,20 1,40 1,60 3,062 1,894 1,400 3,146 1,961 1,454 3,165 1,978 1,470 3,170 1,983 1,474 3,172 1,985 1,476
повом описании сборки, содержащей плутоний-239. Для широкого круга задач на критичность расчеты в 54-приближении должны давать приемлемую точность. Для с — I << 1 даже 52-приближение является достаточно точным; при этих условиях критическая система имеет большие размеры, и тогда любое приближение низкого порядка к угловому распределению потока нейтронов, включая и диффузионное, как показано в гл. 2, дает приемлемую точность.
Критические размеры голых сфер рассчитывались также методом дискретных ординат с направлениями и весовыми множителями, определенными двумя различными квадратурными формулами Гаусса для интервалов —I ^ < О
и 0 ^ (х 1 [22]. Метод, эквивалентный двойному Рл/-приближению, который дает столь хорошие результаты в плоской геометрии (см. табл. 5.2), обеспечивает небольшое, если вообще какое-нибудь, улучшение результатов, полученных с использованием единственной квадратурной формулы на всем интервале — I ^ (.1 ^ 1. Это происходит, по-видимому, из-зй того, что в сферической геометрии поток непрерывен при (д, = 0, как отмечалось в разд. 3.5.1.
5.3.5. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ
В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Описанные выше методы для плоской и сферической геометрий можно распространить на случай произвольной геометрии. Основные детали такого обобщения приводятся ниже. Более подробные сведения можно получить в работе [23].
Метод дискретных ординат в двух- и трехмерной прямоугольной геометрии мало чем отличается от плоской геометрии. В частности, переменные, описывающие направление движения нейтронов, не меняются при прохождении нейтронов через среду без столкновений, и производные по угловым переменным не присутствуют в уравнении переноса (см. разд. 1.7.1). Для описания направления движения нейтронов теперь требуются две угловые переменные, и интегралы по й будут содержать суммы по обеим угловым переменным. Например, если направление движения описывается направляющим косинусом |х и азимутальным углом х, как в табл. 1.1, то
2л і
J Ф (г, Q)dQ= Jj dyv $ d\i Ф (г, [х, %) « о -1
M N
~ 2 17 2 Wn Ф (Г> М-П* 1т),
Wl = I М п = I
где узлы (хп и весовые множители Wn можно выбрать в соответствии с квадратурной формулой Гаусса, а азимутальные углы %т в этом примере равномерно
185
\m— 9/
распределены в интервале 0<х< 2л, т. е. %т = - м 2л, т= 1, 2, ..., М.
Такой выбор мог бы обеспечить основу для развития приемлемого метода дискретных ординат, однако он имеет недостаток, который особенно заметен в трехмерной геометрии. Узлы и весовые множители зависят от того, какое физическое направление выбирается в качестве полярной оси. Таким образом, решение будет зависеть от выбора координат. Этого можно избежать с помощью специального выбора угловых координат, которые инвариантны относительно вращения на угол 90° около любой из координатных осей. Было показано [24], что такое условие инвариантности приводит к значениям |хп, квадраты которых [.I^ оказываются равномерно распределенными, т. е.
