Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
(1-3(.?), я=1, 2, N12.
Такие узлы часто используются в S1v-методах (см. разд. 5.4.4). Первое значение [х находится из условия 3) разд. 5.2.1 для п = 2.
Для криволинейных геометрий, отличных от сферической, также необходимо ввести две угловые переменные. Это справедливо даже для бесконечно длинного цилиндра, в котором поток нейтронов зависит только от одной пространственной переменной г (см. табл. 1.1). Интегрирование по угловым переменным можно проводить в этом случае так же, как в прямоугольной геометрии. Кроме того, необходимо аппроксимировать производные по угловым переменным. Как и для сферической геометрии, конечно-разностные уравнения могут быть основаны на законах сохранения нейтронов. По-прежнему уравнение переноса можно сначала решить в выделенных направлениях, вдоль которых угловые координаты не меняются при прохождении нейтронов через среду; полученные результаты можно затем использовать в качестве граничных условий для основной системы уравнений.
В цилиндрической геометрии, например, такими выделенными направлениями являются те, для которых [х = ±1, т. е. движение нейтронов параллельно оси цилиндра, или sin % = 0, т. е. движение нейтронов по направлению к оси цилиндра или от нее (см. рис. 1.16). Для сокращения числа неизвестных в конечно-разностных уравнениях можно использовать «ромбовидную» разностную схему, как в уравнениях (5.23) и (5.24). Как отмечалось в разд. 5.2.5, 5.3.4, для уменьшения численных ошибок интегрирование уравнений должно проводиться в направлении движения нейтронов.
В случае, когда угловая зависимость потока нейтронов не имеет осевой симметрии, можно обобщить результаты исследований анизотропного рассеяния, проведенных в разд. 5.2.5. Как и раньше, сечения раскладываются в ряд по полиномам Лежандра, используется теорема сложения для этих полиномов (см. разд. 2.6.1) и получающиеся интегралы в уравнении переноса аппроксимируются суммами.
Если поток нейтронов зависит от двух угловых переменных, то можно развить другие методы решения уравнения переноса, предполагая, что зависимость от одной угловой переменной является непрерывной, а от другой — представляется В дискретном виде. Например, ДЛЯ угловых переменных [X И X переменную [х можно рассматривать как дискретную, а зависимость потока нейтронов от х можно представить в виде суммы тригонометрических функций [25].
Из всего сказанного выше следует, что можно рассматривать различные приближения метода дискретных ординат для решения уравнения переноса. Конечно, лучшими приближениями являются те, которые дают точные результаты и не требуют слишком большого времени для численных расчетов. Описанные в настоящем разделе методы оказались очень полезными при решении практических задач. Кроме того, были предложены различные модификации этих методов [26], некоторые из них оказались весьма удобными.
186
5.4. МНОГОГРУППОВЫЕ ЗАДАЧИ
5.4.1. РАЗЛОЖЕНИЕ СЕЧЕНИЙ РАССЕЯНИЯ В РЯД
ПО СФЕРИЧЕСКИМ ГАРМОНИКАМ
Развитые выше методы дискретных ординат относились к односкоростной задаче. Теперь необходимо рассмотреть с помощью много-групповых методов реальные задачи, в которых имеется зависимость от энергии. Основная проблема в этом случае состоит в согласованном определении групповых сечений.
Так же как и в многогрупповом приближении метода сферических гармоник (см. гл. 4), зависящие от энергии многогрупповые уравнения выводятся с помощью интегрирования по некоторому числу энергетических интервалов (или групп). В методах дискретных ординат эти уравнения решаются в определенных дискретных направлениях. Однако, как отмечалось в разд. 1.6.4, такой способ обычно приводит к тому, что групповые сечения оказываются зависящими от направления; кроме того,в этом случае появляется неопределенность при оценке сечений перехода нейтронов.
Чтобы обеспечить определение групповых сечений и пользование ими, на практике применяют ту же процедуру, что и в методе сферических гармоник, и вводят разложение сечения рассеяния в ряд по полиномам Лежандра. После этого групповые константы становятся аналогичными тем, которые используются в многогрупповом методе сферических гармоник. Тем не менее остаются некоторые различия, в частности, в групповых константах для описанных здесь методов дискретных ординат имеются некоторые свободные параметры; их возможное использование рассматривается ниже.
Рассмотрим, для простоты, зависящее от энергии уравнение переноса в плоской геометрии:
дФ(х р, Е) +0(>v>?)O(jc Е) =
дх
= 2я jj jj of (х] E', [.i' ->• Е, f.i) Ф (х, ц/, E') dp' dE' + Q (х, |х, Е). (5.28)
Групповые константы, которые будут выведены для плоской геометрии, можно использовать для любой геометрии. Сечение рассеяния раскладывается в ряд по полиномам Лежандра обычным образом (см. разд. 4.2.2), в результате получаем
>*|г+оФ-2 *<<*¦ ?'>х
X O1 (х; E' Е) dE' + Q, (5.29)
где в левой части уравнения аргументы опущены и, как в разд. 4.2.2,
CO
of (X- E', и) = 2 Е'-^Е)р1^ о);
I=о 4л
і
Ф z (х, Е) = 2л 5 P1 ((і) Ф (х, {.I, Е) dfi;
