Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из свойств полиномов Лежандра известно, что функции РлКм-) имеют точно N нулей в интервале—I ^ 1. Это позволяет выполнить сформулированные
требования. Для четных N имеется четное число направлений и четное число уравнений (5.5), соответствующих уравнениям метода сферических гармоник нечетного порядка. Таким образом, N = 2 в методе дискретных ординат соответствует Рх-приближению в методе сферических гармоник.
5.2.3. ПАРАМЕТРЫ ГАУССОВЫХ КВАДРАТУР
Если совокупность {|хг} выбрана, как отмечалась выше, так, чтобы удовлетворить уравнению (5.6), то значения {wt} будут определяться из требования 3) для п ^ N — 1.
Эти квадратурные параметры являются в действительности системой гауссовых квадратур, которые широко используются в методах численного интегрирования [6]. Такая система N-го порядка, т. е. имеющая N значений (х, и N значений Wi, является единственной системой, обладающей тем свойством, что формула (5.2) точна при интегрировании полинома порядка 2N —1. Из обсуждения,
проведенного в разд. 5.2.1, известно, что это — полином наивысшего порядка, который можно проинтегрировать точно с помощью выражения с N направлениями и N весовыми множителями. В табл. 5.1 представлены узлы Jxi и веса Wi для гауссовых квадратур при N = 2, 4, 6 [7].
Теперь необходимо рассмотреть некоторые граничные условия. Для границы с вакуумом (условие свободной поверхности), когда отсутствуют входящие нейтроны, естественно предположить, что Ф (х, [Ху) = 0 для всех направлений, соответствующих входящим нейтронам. Если рассматриваемая область представляет собой пластину толщиной а, т. е. О ^ х ^ а, то
Ф(0, |л;) = 0 для [.Iy- >0;
ф(°> Hj) = 0 Для цу <0.
Эти граничные условия идентичны граничным условиям Марка для метода сферических гармоник (см. разд. 2.5.1). Следовательно видно, что метод дискретных ординат с выбранными таким образом квадратурными формулами эквивалентен методу сферических гармоник с граничными условиями Марка. В частности, приближенные интегралы фп, определяемые уравнением (5.4),
удовлетворяют тем же самым уравнениям и граничным условиям, что и фп в ме-
тоде сферических гармоник. С помощью обоих методов получаются одинаковые потоки нейтронов и собственные значения. Кроме того, если угловая зависимость потока Ф (х, |х) для |х Ф [л* дается обычным разложением по сферическим гармоникам
N-I
ф(*, Ю = 2 рп M Фп (X), (5.7)
п=0
172
Таблица 5.1 Константы для формулы гауссовых квадратур
N=2 Wi-W2=I ,000
N-=4 Wi=Iiy4=O, 65215
W2=W3=O, 34785
W =6 Wi=W6=O, 46791
W2=Wb=O, 36076
W3=Wi=O, 17132
Ji1=—J-I2=O ,57735 (Xi=—(X4=O, 33998 (X2=—(х3=0,86114 JXi=—|д6=0,23862 |Д2=—J-I5=O, 66121 |д з=—1^4=0,93247
то оба метода, и дискретных ординат, и сферических гармоник приводят к одним и тем же результатам для углового распределения. Можно показать к тому же, что уравнение (5.7) дает такие же значения Ф (х, |хг), которые использовались при выводе совокупности {фп}.
Рассмотрим, например, тот единственный полином порядка N— 1, который может проходить через ТОЧКИ Ф (лг, М-г)- Значения фп(х), определенные уравнением (5.4), точны для такого полинома. Этот полином однозначно определяется совокупностью {фп} и дается уравнением (5.7).
В гл. 2 не было дано подробного объяснения граничных условий Марка. Теперь, однако, оказывается, что они являются естественными граничными условиями свободной поверхности для метода дискретных ординат при использовании гауссовых квадратур и, следовательно, для эквивалентного метода сферических гармоник.
5.2.4. ДВОЙНОЕ Ря-ПРИБЛИЖЕНИЕ
В МЕТОДЕ ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ
В разд. 3.5.1 было показано, что в плоской геометрии обычно существует разрыв в угловом распределении потока нейтронов при ц = 0 на поверхности (или границе). Было найдено, что при решении уравнения переноса с помощью разложения потока в ряд по полиномам Лежандра полезно исследовать каждую сторону разрыва отдельно. Аналогичное двойное Рд.-приближение было использовано в методе дискретных ординат с отдельным разложением потока в интервалах —1 ^|х^0и0^|х^1 [8].
Если используется квадратурная формула с N точками в каждом из этих интервалов, то дискретные направления ([Xi) в этом случае находятся через определенные ранее узлы (см. табл. 5.1) в следующем виде:
Hf =~ = — H2.v+i-i, i = l,2..Nt
а весовые множители принимают вид
Wi =Wi/2 = W2N+1-і ¦
Следовательно, теперь имеется 2N направлений и 2 N весовых множителей. Для положительных или отрицательных значений (х существует N направлений, соответствующих N корням полинома Pn, определенного в интервале 0 ^ 1. Такой способ выбора 2N направлений можно было бы назвать
двойным Pn_j-приближением. Таким образом, например, двойное Рх-прибли-жение имеет четыре дискретных направления. Было показано, что двойное Pn-приближение оказывается очень полезным при использовании метода дискретных ординат в задачах с плоской геометрией, так как оно дает возможность изучать простым способом процессы на границах раздела. Для криволинейных геометрий, однако, не существует разрывов потока нейтронов на границах и; как будет видно ниже, двойной Pn-метод не имеет в этом случае особых преимуществ.
