Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Собственное значение К¦ Условия существования дискретных собственных значений можно получить в связи с экспериментами по определению длины диффузии нейтронов, если переписать уравнение (7.89) в виде
[ — рК + о (Е)]Ф (\х, Е) = § osfsO(p',E')dQ’ dE'. (7.93)
Поскольку имеются ввиду положительные значения Ф, то правая часть урав нения положительна. Следовательно, К не может превосходить сечения а (E), так как если бы это условие не выполнялось, то величина — \iK + + о (E) была бы отрицательной для [.1 = 1. Если [a (E)] обозначает наименьшее значение полного сечения какфункции энергии нейтронов, то для дискретных значений К, которые должны существовать, это условие имеет вид
К <[о (E)Uiv (7.94)
Было показано [83], что действительные значения К, большие, чем [а (?')]Мцн» принадлежат непрерывному спектру и связаны с сингулярными собственными функциями.
Представляют интерес такие условия эксперимента, при которых дискретное собственное значение, т. е. длина релаксации, может или не может существовать. В соответствии с уравнением (7.88) дискретное собственное значение означает, что на расстояниях, далеких от источника, плотность нейтронов будет спадать приблизительно по закону ехр ( — Kx) с одинаковым показателем экспоненты для всех энергий нейтронов, представленных в спектре. Этот асимптотический (или равновесный) спектр не зависит от нейтронного источника. Так как плотность нейтронов с энергией E не может спадать быстрее, чем по закону ехр ( — о (E) х), то спектр как целое не может спадать быстрее, чем ехр { — [Or(^)MHHx и эт0 объясняет предел в соотношении (7.94).
Асимптотический спектр, не зависящий от источника, предполагает интенсивный обмен энергией между нейтронами и рассеивающими ядрами, что может привести к появлению равновесного спектра. Если какой-либо сильный эффект препятствует достижению равновесия, то следует ожидать, что равновесный спектр не будет установлен и, значит, не будет дискретных собственных значений. Укажем три таких эффекта: а) непосредственный вклад в спектр
* Возможно также, что дискретное собственное значение может быть «вставлено» в непрерывный спектр, однако обычно этого не происходит в задачах термализации [82].
293
от источника нейтронов с энергией, при которой о (E) мало; б) сильное поглощение; в) утечка в среде конечных размеров.
Для жидких и газообразных сред минимальное значение полного сечения, т. е. [а (?')]мик, достигается при самых высоких энергиях нейтронов, как в задаче, рассмотренной в разд. 7.3.1. Если это минимальное значение слишком мало, то искомые собственные функции могут не существовать.
Рассмотрим, например, плоский источник нейтронов деления, размещенный в замедлителе [84]. Для этой задачи энергетический интервал перекрывает область энергии 0 5? E < 10 Мэе, по существует возможность, что вдали от источника имеет место асимптотический спектр тепловых нейтронов с пренебрежимо малым числом быстрых нейтронов. Такой случай будет осуществляться для графитовых, бериллиевых и тяжеловодных замедлителей. Однако в легкой воде распределение нейтронов вдали от источника определяется темн нейтронами высокой энергии, которые прошли от источника без столкновений с ядрами замедлителя. Эти высокоэнергетические нейтроны предопределяют отсутствие дискретных собственных значений К• Для нейтронов источника с более низкой энергией сечение [а (Е)]мин имеет большее значение, и дискретные собственные значения К могут существовать [85].
Для кристаллических замедлителей минимальное значение о (E) будет достигаться при энергиях, лежащих ниже брегговского порога (см. рис. 7.2 и 7.12). При таких энергиях сечение упругого рассеяния равно нулю, а сечение неупругого рассеяния очень мало, особенно при низких температурах. При таких малых значениях [а (?)]мич вновь могут появиться сомнения в существовании собственных значений К-
Далее рассмотрим влияние на спектр нейтронов поглотителя, гомогенно размешанного в замедлителе. Предположим, что для чистого замедлителя существует дискретная длина релаксации. При добавлении поглотителя значение К будет возрастать, т. е. асимптотический спектр нейтронов будет спадать с расстоянием более быстро. Интересно отметить, что если для некоторой конечной концентрации поглотителя собственное значение К: достигает предельного значения, определяемого уравнением (7.94), то для более высоких концентраций не устанавливается асимптотический спектр.
Было найдено, что в частном случае поглотителя, для которого сечение
о (E) меняется по закону \:v (или L YЕ), такая критическая концентрация поглотителя действительно существует [86]. Для более высоких концентраций поглощение становится настолько сильным, что асимптотический спектр не может установиться. Может оказаться, следовательно, что для достаточно высокой концентрации поглотителя, подчиняющегося закону 1/и, ослабление потока нейтронов вдали от источника не будет описываться экспоненциальной зависимостью. Тем не менее установлено и теоретически [87] и экспериментально [88], что это ослабление очень близко к экспоненциальному закону с длиной релаксации, большей, чем 1/[сг (Е)]М1Ш.
