Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
До некоторой степени аналогичная ситуация отсутствия дискретной длины релаксации наблюдается и при диффузии нейтронов в среде конечных размеров, такой, как призма, конечная в направлениях х и у, но бесконечная в направлении оси 2 и с источником, расположенным при г = 0. В этом случае ищутся асимптотические решения с приближенно экспоненциальным законом ослабления потока нейтронов в направлении оси г. Как и раньше, они должны удовлетворять уравнению (7.94). Установлено, что для достаточно тонкой призмы не существует дискретного собственного значения К, т. е. не существует решения с экспоненциальным законом ослабления потока нейтронов [89].
Наконец, в экспериментах с модулированным источником нейтронов могут отсутствовать нейтронные волны, если частота модуляции высока. Другими словами, когда частота со слишком велика, то отсутствует дискретное собственное значение К для уравнения (7.90). Однако при исследовании чувствительности детектора могут быть найдены решения типа волновых. Изучение модулированных источников представляет значительный интерес, и число работ, посвященных этому вопросу, быстро нарастает [90].
294
Собственное значение а. Приведенное выше исследование касалось собственного значения К (или длины релаксации). Рассмотрим теперь собственное значение а (или постоянную спада). Как показано в гл. 1, эти собственные значения могут не существовать, если система очень мала, т. е. имеет размеры порядка или меньше средней длины свободного пробега. Вообще говоря, небольшая система соответствует большой утечке нейтронов, т. е. большому значению В в уравнении (7.91). Однако для небольших систем экспоненциальное приближение ехр (іЯх:) для пространственного распределения потока нейтронов является недостаточным. В этом случае следует решать уравнение переноса с граничными условиями свободной поверхности. При таком подходе было установлено, что существует нижний предел для а0 [91], и если система мала, то не может быть значений а, превышающих этот предел.
Наличие такого предела можно объяснить следующим образом. Рассмотрим интегральное уравнение переноса для собственного значения а с изотропным рассеянием в гомогенной среде, т. е.
Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (7.76), за исключением того, что т (Е, г' -> г) в экспоненциальном члене уравнения (7.76) заменено [a (E) -{¦ a/v] |г — г'|. Так как рассматривается гомогенная среда, то оптическая длина пути г обычно заменяется о (E) | г — г' |, поскольку обе величины представляют собой число средних длин свободного пробега между точками гиг' (см. разд. 1.2.3). Однако для задачи на собственное значение необходимо к полному сечению добавить величину a/v, т. е. a/v выступает в качестве сечения поглощения (см. разд. 1.5.6). Для настоящей задачи Q = 0, и решения ищутся в виде
Подставляя это выражение в уравнение (7.76) вместе с определенной выше величиной х, можно получить уравнение (7.95).
Разумно предположить, что собственное значение должно быть таким, чтобы показатель экспоненты в уравнения (7.95) никогда не становился ни положительным, ни бесконечным, так как в противном случае оказалось бы, что поток ф (г, Е) был бы неограниченным и, следовательно, не удовлетворял поставленным условиям. Если сделать такое предположение, то необходимо исследовать два случая: а) неограниченная среда и б) ограниченная среда.
Для неограниченной среды, такой, как пластина (имеющая конечную толщину, но бесконечную в двух других измерениях), член |г — г' I может стать бесконечным и, следовательно, требуется, чтобы a (E) + a/v ^ 0, или, другими словами,
где [vo (?)]МНц означает минимальное значение va на всем рассматриваемом интервале энергий. Все значения а < — [vo (?)]кин принадлежат непрерывному спектру, т. е. они связаны с сингулярными собственными функциями [92]. Необходимо отметить, что для односкоростного приближения (CM. разд. 1.5.3) все дискретные собственные значения обязаны иметь а > — vo, а континуум собственных значений с сингулярными собственными функциями был получен для более отрицательных значений а. Следовательно, данное рассмотрение согласуется со строгими результатами односкоростного приближения. Известно, что в односкоростных задачах а0 существует всегда, однако в задачах с энергетической зависимостью, как показано ниже [93], а0 может не существовать для достаточно тонких пластин.
Для ограниченной среды |г — г' | — конечная величина, но о (E) + a/v расходится при v -> 0. В частности, все сечения поглощения меняются при низких энергиях по закону 1/и, и в большинстве моделей рассеяния сечения
of (r'; E'-+ Е) ф (r',E')dV dE'. (7.95)
ф (г, E,t)= ф (г, Е) ехр (at).
MIIHi
(7.96)
295
неупругого рассеяния, например вида (7.25), также обнаруживают зависимость
от энергии, описываемую законом IiyrE. В любом случае, чтобы поддерживать показатель экспоненты в уравнении (7.95) отрицательным при v -> 0, требуется, чтобы
а0 Iim [wj(?)]. (7.97)
На практике условия, определенные уравнениями (7.96) и (7.97), обычно совпадают, так как минимальное значение vo является в большинстве случаев также и предельным значением при стремлении энергии (или скорости) нейтронов к нулю.
