Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для конечной среды а 0 в этом случае не должно быть меньше, чем предел в уравнении (7.97), для того чтобы собственное значение было дискретным. Однако при рассмотрении систем все меньших и меньших размеров можно ожидать, из физических соображений, что а0 будет уменьшаться монотонно. Следовательно, можно найти такой размер системы, для которого
а0 — — Iim [vo (E)],
['->О
а для меньших размеров ос0 не будет существовать. Эти результаты, полученные на основе физических соображений, были подтверждены строгим анализом, проведенным для модели одноатомного газа [94] и для идеализированных моделей рассеяния нейтронов твердыми телами [95]. Было показано, что существует предельное значение ос0, равное полученному выше, т. е. — Iim [vo (E)] при и-»- 0, и что это собственное значение не существует для небольших систем. Необходимо отметить, что доказательство существования этого предела для конечных систем основано на использовании уравнения переноса в предельном случае стремящихся к нулю энергии, где оно оказывается недостаточно точным (см. разд. 1.5.3). Если интервал скоростей нейтронов искусственно ограничить значением, лежащим выше нуля, то для конечных систем не будет получен такой предел [96].
7.6.4. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
При получении общих свойств собственных значений и собственных функций широко использовались приближенные вырожденные функции рассеяния [97]. Ho когда для описания рассеяния нейтронов в жидкостях или кристаллах применяют более реальные модели, такие, как некогерентное приближение Гаусса, получающиеся значения Os и оsfs оказываются настолько сложными, что собственные значения (и соответствующие собственные функции) можно получить только численными методами [98]. В этом случае для описания энергетической зависимости применяется многогрупповое приближение.
Рассмотрим, например, задачу расчета последовательности собственных значений постоянной спада {ссг} для системы, в которой пространственная зависимость потока нейтронов может быть приближенно представлена экспоненциальным законом ехр (iEx). В этом случае применимо уравнение (7.91), и функцию рассеяния можно разложить обычным образом в ряд по полиномам Лежандра. Таким образом, получим уравнение
[т
OO
—+ ій|і+в(Е)’ф<ц,?) = P1 (|i)о,,(?'-*?) Ф (?'), (7.981
J Co 4”
аналогичное уравнению (4.2). В этом выражении В считается известной величиной, а а — искомым собственным значением (см. табл. 7.1). Можно, наоборот, считать а известной величиной, a В — искомой. В любом случае реше-
296
ниє можно найти, раскладывая Ф (ц,, E) в ряд по полиномам Лежандра, как в гл. 4, и вводя многогрупповое представление энергетической переменной. Для того чтобы уменьшить неопределенности в групповых константах, можно использовать большое количество групп.
Если для определения Ф (|Х, Е) используется Pn- приближение, то можно получить систему (N + I) G линейных однородных уравнений для (N + 1) коэффициентов разложения потока в G группах. Решение этой системы возможно только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю, и это условие приводит к (N + I) G возможным значениям а и, таким образом, к (N + I) G собственным значениям. Экспериментально подтверждено [99], что собственное значение с наибольшей действительной частью является действительным и связано с положительной собственной функцией. Это и есть а о, и его можно сравнивать с экспериментальными значениями. После того как собственное значение определено, соответствующую собственную функцию можно найти, решая систему (N + I) G лннейных однородных алгебраических уравнений для (N + I) G коэффициентов разложения собственной функции.
Поскольку (N + I) G отмеченных выше значений а найдены как корни полиномов, то все они являются дискретными. Естественно задаться вопросом, что стало с непрерывным спектром собственных значений, для которых ас— [vo (?)]мин> связанных с сингулярными собственными функциями. На практике они появляются как легко различимые дискретные собственные значения, так как соответствующие собственные функции имеют резкую и нерегулярную зависимость от энергии [100]. В многогрупповой задаче эти дискретные собственные значения имеют величину а, меньшую, чем минимальное значение со, при выбранной групповой структуре.
В многогрупповом приближении а о существует даже для произвольно малых систем. Другими словами, собственная функция, связанная с наибольшим (наименее отрицательным) действительным значением а, возможна для всех значений В [101]. В действительности это справедливо не только для случая, когда пространственная зависимость потока нейтронов аппроксимируется экспоненциальным законом ехр (iBx), но также в случае многогрупповой задачи термализации для пластины с граничными условиями свободной поверхности [102].
Когда теоретические исследования предсказывают невозможность существования величины а „для непрерывного, т. е. негруппового, представления энергетической зависимости, но с помощью многогрупповых методов или из экспериментов такая величина определяется, то ее иногда рассматривают как «псевдофундаментальное» собственное значение. Полагают, что хотя это значение а о не является наибольшей постоянной спада для всех нейтронов в системе, его можно приближенно рассматривать как величину, определяющую ослабление большей части потока нейтронов [103].
