Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
При обсуждении рис. 7.19 отмечалось, что когда B2 = 0, т. е. в случае бесконечной среды, а0 = — Oa0V0 для системы, содержащей поглотитель, подчиняющийся закону Mv. Однако не было установлено, является ли
— Oa0V0 главным собственным значением. Если приведенные выше значения B2 и а0 подставить в уравнение (7.100), то оно приобретает вид
CTs ф (E) = ^os0(Е'-»Е) ф (E')dE', (7.102)
эквивалентный уравнению (7.10) для потока нейтронов в бесконечной непоглощающей среде без источников.
Как отмечалось в разд. 7.2.2, решением этого уравнения является максвелловское распределение ф (E) — М (Е, Г). Следовательно, M (Е, Т) представ-
299
ляет собой собственную функцию уравнения (7.100), а—Oa0V0 — соответствующее собственное значение. Кроме того, можно показать [111], что
— Oaovo—действительно главное собственное значение а0, т. е. собственное значение с наибольшей действительной частью. Из этого следует, что для бесконечной среды с поглотителем, подчиняющимся закону 1/у, а0 = — Oa0V0t и основная собственная функция есть М(Е, Т), так что поток нейтронов имеет максвелловское распределение по скоростям. Хотя этот результат был выведен из уравнения диффузионного приближения (7.100), он является более общим, так как для пространственно независимого решения в бесконечной среде отсутствуют диффузия и результирующий ток нейтронов.
7.6.6. ОТКЛОНЕНИЯ ОТ МАКСВЕЛЛОВСКОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Исследуем характер отклонения собственных функций потока нейтронов, соответствующих различным собственным значениям, от максвелловского распределения. Для эксперимента с импульсным источником в бесконечной среде, т. е. с B = Ob уравнении (7.91) или (7.100), а0 = = — oa0v0, и собственная функция, как показано выше, является максвелловской. Для большой, но конечной системы диффузионное уравнение (7.100) можно использовать с конечной, но малой величиной В, для того чтобы получить зависимость собственного значения а и собственной функции ф (E) от размеров системы, т. е. от В. С этой целью удобно переписать уравнение (7.100) для поглотителя, подчиняющегося закону 1/у, в виде
'а+ ??»"? JrD(E)B2j ф (E) = дф (E), (7.103)
где q определяется выражением
Яф(Е) = \оф(Е'-*Е) ф (E')dE'-a,(E) ф (E). (7.104)
Интегрируя уравнение (7.104) по всем энергиям и имея в виду, что
S Crso (?'-> Е) dE = os (Et)t
можно показать, что
\дф (E)dE = 0 (7.105)
для любой функции ф(Е).
Для небольших значений В можно выразить а и ф в виде степенных рядов по В2. Таким образом,
а г= <х0+ CX1B2+ (XoB4+ ...; (7.106)
ф(Е)=ф0(Е) + В2ф1 (E) + B4 фъ(Е) + ... (7.107)
Подставляя эти ряды в уравнение (7.103) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях В, находим, что
a0+o„v0 ф(Е) = яфЛЕ). (7Л08)
+ ^(Е)+Jih- +?>(?)] 0„(?>=? ф!(?); (7.109)
.?+?.? +D(?)j фі(Е> + М. ф0(Е)=<іфг(Е). (7.110)
300
Уравнения (7.108) — (7.110) проинтегрируем теперь по всем энергиям и получим в соответствии с уравнением (7.104), что правая часть этих уравнений равна нулю. Тогда из уравнения (7.108) следует, как п ожидалось, что
а0=—Oa0V0 (7.111)
и, кроме того, как указывалось в конце предыдущего раздела,
Ф о (E) = М](Е, Т).
Далее, в результате интегрирования уравнений (7.109) и (7.110) находим, что
f D(E)M (?, Т) dE -
— а, ——г------------------= D;
J (1/у) M (?, T)dE
f [D (E)-(Dlv)] (P1(E)CiE 2'~ \ (Uv) M (Е, Т) dE
где D — коэффициент диффузии и Cli — коэффициент диффузионного охлаж-
дения— определяются уравнениями (7.112) и (7.113) соответственно.
Используя уравнения (7.111) — (7.113), можно записать уравнение (7.106) в виде
а = —oa0v0—D B2^CdBi+... (7.114)
Отметим, что Ї) определяется в соответствии с уравнением (7.112) с помощью коэффициента диффузии D (E) и максвелловского распределения M (Е, Т). Следовательно, первый член в уравнении (7.114), который учитывает отклонения спектра нейтронов от максвелловского распределения, представляет собой член диффузионного охлаждения CdBi. Происхождение и название этого члена можно понять из нижеследующего обсуждения.
Поглотитель, подчиняющийся закону І/v, не возмущает максвелловского распределения в бесконечной среде, так как время жизни нейтрона по отношению к поглощению таким поглотителем, а именно [оа (E) v]~l, не зависит от энергии нейтронов. Следовательно, все нейтроны поглощаются с одинаковой скоростью, и максвелловский спектр не возмущается поглощением, подчиняющимся закону 1/у. Это объясняет, почему первые два члена в правой части уравнения (7.114) не представляют никакого отклонения от максвелловского распределения.
Время жизни нейтрона с энергией E по отношению к утечке из системы приближенно описывается выражением IvD (E) Б2]-1. Для газообразных и жидких замедлителей величина vD (E) возрастает с энергией нейтрона в тепловой области, так что нейтроны более высоких энергий утекают (или диффундируют) из системы быстрее, чем нейтроны меньших энергий. Результирующий эффект такой преимущественной утечки нейтронов более высоких энергий состоит в сдвиге спектра нейтронов в область более низких энергий по сравнению с максвелловским распределением при температуре замедлителя. Если бы сдвинутый спектр можно было характеризовать «температурой нейтронов» [112], то она была бы ниже, чем температура замедлителя. Это объясняет происхождение термина диффузионное охлаждение. В соответствии с уравнениями
