Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для более сложных случаев, таких, как гетерогенные системы с заметными градиентами температур, спектр нейтронов неизвестен заранее. В этом случае требуется значительное число групп в тепловой области энергий, порядка десяти и более, и результаты не очень чувствительны к усреднению по потоку внутри отдельных групп.
Для изучения переноса тепловых нейтронов многогрупповым способом можно использовать любые методы, развитые в гл. 4 и 5. Особенно важным
287
является изучение термализации нейтронов в решетке с градиентами температур. Для ячейки с изотропным отражением нейтронов на границе можно применять Sn -метод. Если геометрия решетки достаточно сложна, то может оказаться необходимым использование метода Монте-Карло. Ниже описан другой метод, основанный на понятии вероятностей столкновений. Он широко использовался для изучений задач термализации в гетерогенных системах.
7.5.2. МЕТОД ВЕРОЯТНОСТЕЙ СТОЛКНОВЕНИЙ
Метод вероятностей столкновений выводится из интегрального уравнения переноса (1.29) с изотропным рассеянием. Стационарная форма этого уравнения имеет вид
ф(г,Е)=\к (г, г', Е) [$ of (г; Ef Е) ф (г\ E') dE' + Q (r', E)] dV', (7.76) где ядро К определяется соотношением
X(r,r',E)s «р[-ME; r'-»OI1 , (7 77)
4л I г —r' I2
т — оптическая длина пути (см. разд. 1.2.2), т. е. число средних свободных пробегов между точками г' и г. Необходимо отметить, что выше сделано предположение об изотропности источника и рассеяния нейтронов.
Энергетическую зависимость в уравнении (7.76) можно представить в виде, используемом в многогрупповых уравнениях, интегрируя по энергетическому
интервалу обычным способом. Резуль-/•V.-.:тат можно записать так:
. Замедлитель . Топливо
ФЛГ) = \КЛТ> r'H2<v-«(r') Фг (О+
е'
+ Qs (г')1 dV', g — \,2, ..., G, (7.78)
У;’- ’¦ 7 Теплоноситель где усредненные по группе величины /У определяются таким же способом, как
VВ ГЛ. 4 И 5.
Y/':" .-;л :Предположим, что требуется решить
уравнение (7.78) для тепловых ней-Рис, 7.18. Ячейка решетки. тронов в ячейке, сечение которой пред-
ставлено на рис. 7.18. При изучении тепловых групп источник Qg может включать нейтроны, которые замедляются внутрь тепловых групп из области более высоких энергий. В этом случае обычно можно легко оценить Qg (см. разд. 7.7.1). Ячейка затем делится на большое число I зон, таких, что внутри каждой зоны поток нейтронов и источник в любой группе могут быть выбраны постоянными. Пусть внутри
t-й зоны Og- .. g (r') = Og- gti и пусть фё-,1 —поток нейтронов, a QgJ — источник в i-й зоне.
Уравнение (7.78) можно теперь переписать, представляя интеграл по объему в виде суммы I объемных интегралов по каждой из I зон. Тогда
і _ _
5МГ)= S + $ К,(г, r')dV', (7.79)
‘ = I g' Vi
где Vi—объем і-й зоны. Если это выражение интегрируется по /-й зоне, то левая часть уравнения (7.79) становится равной Vj фgi/-, и если Kg,і - / определяется выражением
К
1-М
288
= J-. ff К«<г,г')Л,'Л', (7.80)
то результат имеет вид
і
Ф g, і — S
с
cV->g, / фg-, j -f- QgiI
g’= і
Kgti^h /=1,2,...,/. (7.81)
После того как коэффициенты переноса /Cgtl- - / определены, эту систему алгеб* раических уравнений можно решить относительно ф g,j.
Коэффициенты переноса тесно связаны с вероятностями столкновений, которые исследовались в разд. 2.8, следующим образом. Если сечения в группе предполагаются постоянными, то согласно уравнению (7.77)
Ks (г, г') = К (г, г-, Eg) = ехр 1~х r)1 ¦ (7.82)
4JT I г — Г j-
Тогда из уравнения (7.80)
Kgtl-* / = — f f ехР[-т^г^ r)1 dV'dV. (7.83)
' Vy-JJ 4я| г'—г I*
Из рассмотрения, проведенного в разд 1.2.3, известно, что
( )-exp l-T^r-^r)] v ( 84)
g ' 4л I г—r' I2
представляет собой вероятность того, что нейтрон, рожденный в точке г' с энергией Eg, испытает следующее столкновение внутри элемента объема dV около точки г; Og (г) есть полное сечение для нейтрона с энергией Eg в точке г. Значит, средняя вероятность нейтрону, рожденному в объеме Vt, испытать свое следующее столкновение в объеме Vj может быть найдена усреднением выражения (7.84) по г' в объеме Vi и интегрированием по г в объеме Vj. Если полученный результат записать в соответствии с обозначениями разд. 2.8.2, то получим /
ехр[—TjEg-, г' — r)l dV'dV' (7.85)
4л, I г—г' I2
'-W
v/ V ’
Сравнивая уравнения (7.83) и (7.85), можно видеть, что
Кг.^1 = -+-рг,^„ (7.86)
VjOg (!)
что представляет собой искомое соотношение между коэффициентом переноса и вероятностью столкновений в g группе.
Коэффициенты Kgj - / можно определить несколькими отличающимися друг от друга способами, к которым относятся: а) аналитическая или численная оценка интегралов в уравнении (7.83); б) S^-методы высокого порядка; в) метод Монте-Карло. Если используется второй или третий из названных способов, то, вероятно, наиболее простой путь состоит в оценке вероятностей столкновений и последующего определения коэффициентов переноса из уравнения (7.86).
Систему уравнений (7.81) можно решить итерационными методами, принимая в качестве начального значения распределение потока, аналогичное тем, которые были описаны в гл. 4. В расчетах ядерных реакторов широко применяется программа THERMOS, основанная на этих методах [76]. Метод вероятностей столкновений оказывается наиболее полезным при расчете не очень больших ячеек, в которых число зон / не очень велико. Причина этого состоит в том, что в интегральной теории переноса нейтронов каждая зона непосредственно связана со всеми другими зонами. Другими словами, коэффициенты Kg,і ->отличны от нуля для всех значений і и j и поэтому число коэффициентов для каждой группы равно I2. С другой стороны, в Pn- и Sk- методах, основанных на обычной (дифференциальной) форме уравнения
