Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
219
системы уравнения для потока и сопряженной функции записываются в следующем виде:
ЙУФ+аФ = §of (r;Q', E'-+Q,E) (DdQ' dE' (6.72)
и
— Й-УФ++аФ+ = Ца[(г;Й,?->Й\?')ф+^'^'- (6-73)
Для подкритической возмущенной системы, поддерживаемой в стационарном состоянии с помощью источника, уравнение переноса имеет вид
й.уф* .L0* ф* = ^ 0*f*(r;Q',E'->Q,E)Q*dQ'dE'+Q(r,Q,E), (6.74) где, как и ранее, о* = о -f Aa и o*f* = of + A (of).
Величины Aa и A (of) представляют собой разность сечений в возмущенной (подкритической) и исходной (критической) системах. Используя представленную ранее процедуру перекрестного умножения уравнений (6.73) и (6.74) соответственно на Ф* и Ф+, вычитания из одного уравнения другого и интегрирования результата по всему интервалу изменения переменных, получаем
l^QO+dVdQdE =
= Щ Ьофьф+dVdQdE— J ... § A [of (г, ft', ?'->ft, ?)] х
хФ*(г,0', E')0+(r,Q,E)dVdQ' dE' dQdE. (6.75)
Если возмущенная система близка к критической, то можно предположить, что Ф* л; СФ, где Ф — решение уравнения (6.72) для критической системы, нормированное некоторым определенным, но произвольным образом, а С — постоянный коэффициент при выбранной нормировке потока. В этом случае уравнение (6.75) приводится к виду
5? QO+dVdQdE =
= C [5? ЬоФФ+dVdQdE — $ ... §Д(а/)ФФ+гіУ ... dE] . (6-76)
Необходимо отметить, что в отл ичие от собственных функций, соответствующие собственным значениям а, функции Ф, Ф* и Ф+ в уравнениях (6.72) и т. д. имеют измеримые стационарные значения, представляющие собой экспериментальных данные. Из уравнения (6.76) можно вывести некоторые интересные заключения, два из которых будут отмечены ниже.
Рассмотрим подкритическую систему, имеющую некоторое определенное возмущение, т. е. фиксированные значения Aa и A (of). Далее, в соответствии с уравнением (6.76) постоянный коэффициент С, который пропорционален возмущенному потоку Ф*, обусловленному источником Q, пропорционален и интегралу от <2Ф+. Другими словами, возмущенный поток Ф* пропорционален интегралу отфФ+. Таким образом, функция Ф+ вновь представляет собой ценность нейтронов в установлении основного распределения (для подкритической системы).
Другой представляющий интерес случай относится к одинаковому источнику в последовательности подкритических размножающих систем одного типа. Предположим, что система і в этой последовательности имеет отклонения от критичности, определяемые величинами аг (Aa) и аг [A (of)], где а{- — пропорционально отклонению от критичности, а возмущения Aa и A (of) одинаковы для всех систем. Из уравнения (6.76) следует в этом случае, что величина 1/С пропорциональна аг. Кроме того, коэффициент С пропорционален чувствительности детектора и, следовательно, размножению всистеме. Таким образом, размножение в системе обратно пропорционально отклонению от критичности. Это соотношение является основой известного экспериментального метода для
220
определения условий критичности. Величина, обратная размножению, т. е. ММ, строится как функция некоторого параметра, обычно массы топлива, для различных подкритических сборок и экстраполируется к IZAf = O по почти линейному закону.
6.3.5. ВОЗМУЩЕНИЯ В МНОГОГРУППОВОМ
ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В предыдущих разделах были получены некоторые общие результаты по изменениям собственных значений а и k в рамках теории возмущений, основанной на использовании уравнения переноса. Аналогичные выражения можно получить и для различных приближений уравнения переноса. В качестве примера в настоящем разделе рассмотрение изменения эффективного коэффициента размножения проведено на основе дифференциальных уравнений многогруппового диффузионного приближения.
Уравнение (4.41) для собственного значения k в многогрупповом диффузионном приближении можно записать в виде
— V-DgV^g+ O0fg фё = 2 ^so.e'-e Фе’+ -°f’ e^e Ф&'У (6.77)
Это выражение применяется к невозмущенной системе. Соответствующее сопряженное уравнение для собственного значения k+, равного k, как показано выше, имеет вид
/ VG ( # N
V-Dg Уф* + а0, g ф? --= 2 ^orSO, g-*g' ф+і'~ї-------------------------------------Фру
(6.78)
Уравнение для полного потока нейтронов в возмущенной системе с собственным значением k* представляется в следующем виде:
-?.0^:+05.^ = 2(0?.*--**:- + ?1^*:). (6.79)
где возмущенные величины вновь обозначены звездочками. Возмущения, которые, как обычно, предполагаются малыми, определяются в этом случае выражениями:.
A Dg = Dl-Dg-,
g = Oq, g Co, g;
Ac so, g'-+g = Os о, g' -+ g Os о, g'-*g’,
А (W/, «'-«) = vof, g' _jg—VO і, я. e;
Ak = k* — k.
Далее уравнения (6.78) и (6.79) умножаются соответственно на ф g и по-
членно вычитаются одно из другого. После суммирования по всем группам g и интегрирования по всему объему получим
2$[-*« V-(D'V^J)+ *JV.(D,V*J) + 4o0.,*,*
Atfso,g'-*g ф? ф%' +
dV. (6.80)
ё Lg'
T+-
Первые два члена в левой части уравнения (6.80) приводятся к виду
2$!-*. V-(AD,V* JDldV,
221
поскольку, как и в односкоростной задаче (см. разд. 6.2.2), остальные члены взаимно уничтожаются после интегрирования по частям и подстановки граничных условий. Последние два члена в правой части уравнения можно упростить, используя соотношение
