Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношения между собственными значениями а0 и ао и соответствующими им потоком и сопряженной функцией можно вывести следующим образом.
Рассмотрим уравнение, которому удовлетворяет собственная функция Фу.
= 1Ф и (6.28)
V
а также уравнение (6.27), устанавливающее связь между сопряженным собственным значением at и соответствующей собственной функцией Ф*. Предполагается, что функции Фу и Ф* удовлетворяют обычным условиям непрерывности и граничным условиям. Умножим уравнение (6.27) на Ф^, а уравнение (6.28) на Ф* и результат проинтегрируем по всему интервалу изменения переменных г, й, Е. Вычитая почленно из одного уравнения другое, получаем
(aj-a/-)(J_ фг+> Ф^=(Ф^ЬФ;)-(Ф;.1 + ФП.
Согласно определению сопряженного оператора L+ два скалярных произведения в правой части полученного уравнения равны.
Следовательно,
(aj-аГ) (-“Фг+, Ф/) = 0. (6.29)
Если і = / = 0, т. е. рассматриваются главные собственные значения, то
и Фо , и Ф0 неотрицательны, и скалярное произведение в уравнении (6.29) положительно. Отсюда следует, таким образом, что a0 = а^. С другой стороны,
если а} Ф- а*, то в соответствии с уравнением (6.29) (-^Ф/\ Фу) = 0 или, другими словами, Ф+ и Ф;- ортогональны с весом Mv. Это соотношение ортогональности будет впоследствии использовано.
6.1.11. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ
СОПРЯЖЕННОЙ ФУНКЦИИ
В гл. 1 подробно обсуждались различные типы решений, которые можно ожидать для потока нейтронов в подкритических, крити-
ческих и надкритических системах. Аналогичные выводы могут быть сделаны и для сопряженной функции [5]. Так, для любой системы существует решение нестационарной сопряженной задачи с заданным конечным значением. Если предположить, что в конечный момент времени t = tf детектор отключен, так что Ф+ (г, й, Е, tf) = 0, то физическая интерпретация решения как ценности нейтронов для активации детектора будет такой же, как в разд. 6.1.9.
208
Если, с другой стороны, функция Ф+ ограничена при t = t}, то решение все же можно выбрать так, чтобы оно имело физический смысл. Покажем, например, что если выбрать сопряженную функцию Ф+ (г, й, Е, tf)= 1 для всех значений г, й, E в системе, то решение сопряженного уравнения без источников, т. е. уравнения (6.23) с Q+ = 0, в более ранние моменты времени можно интерпретировать как ожидаемое число нейтронов в системе при t — tf, возникших от нейтрона с параметрами г, й, Е, t• С этой целью рассмотрим нестационарное уравнение переноса без источников, т. е.
— — = 1Л>, (6.30)
V dt
и соответствующее сопряженное уравнение
----L L+Ф+. (6.31)
V dt
Предположим, что решение уравнения (6.30) ищется для начального условия: при t = 0 в системе присутствует один нейтрон с параметрами г0, й0, E0. Это условие можно представить в виде
Ф(г0, Q01Et 0) = v08 (T-T0) 6 (Q-Q0) 6 (E-E0). (6.32)
Уравнение (6.31) решается для сформулированного условия при t = tf, а именно:
Ф+(г, Й, Е, tf)= 1. (6.33)
Уравнение (6.30) умножается наФ+, а уравнение (6.31) — на Ф. Затем оба уравнения интегрируются по всему интервалу изменения переменных г, й, E и получающиеся уравнения вычитаются почленно одно из другого. В результате находим, что
dt
= (Ф+ 1Д>) — (Ф, L+Ф+) = 0, (6.34)
так как разность скалярных произведений в правой части уравнения (6.34) равна нулю в соответствии с определением оператора L+. Интегрируя (6.34) по t от 0 до tf, получаем
(тф+'ф)-о = (тф+'ф)<-Г (6'35>
В силу начального условия для Ф (6.32) левая часть уравнения (6.35) равна просто Ф+(г0, й0, E0, 0); при конечном условии на Ф+, определяемом уравнением
(6.33), правая часть уравнения (6.35) есть интеграл от Ф/v (= N) по всему интервалу изменения переменных г, й, Е.
Следовательно,
Ф+ (г„, Й0, E0, 0) = Щ N (г, Й, Е, tf) dVdQdE.
Величина в правой части этого соотношения представляет собой ожидаемое число нейтронов в момент времени tf', итак, подтверждена приведенная выше интерпретация функции Ф+. Если функцию Ф + в некотором интервале изменения переменных г, й, E выбрать равной единице в момент времени tf, то решение Ф+ в более ранние моменты времени соответствовало бы ожидаемой плотности нейтронов в данном интервале. Выбирая интервал очень малым, можно вывес-
209
ти соотношение между нестационарными функциями Грина для потока нейтронов и сопряженными функциями Грина, аналогичное уравнению (6.13), т. е.
G+(r1( ft*, E1, h —*¦ г0, й0, E0, t0)tt > t„ =G (г0, й0, E0, t0 —> г1( й1( E1, Z1). (6.36)
Выводы, аналогичные тем, которые были получены выше, применимы и для стационарных задач (дФ+/д/=0), таких, которые существуют для подкритической системы с постоянным источником или в критической системе без источника. В первом случае сопряженная функция описывает ценность нейтронов, как было показано в разд. 6.1.4. Для критической системы ао = 0, и соответствующую основную собственную функцию Фо можно интерпретировать как ценность нейтрона с параметрами г, й, E для установления основного распределения потока. Это следует из уравнения (6.35) при условии, что время tj велико, и принимаются во внимание некоторые следствия условия критичности, как будет продемонстрировано ниже.
