Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
4я
то скалярное произведение, в котором интегрирование проводите/1, по всему объему г и всем направлениям й, будет иметь следующий вид:
\[ф+OdQdV = — \[ф +(г) ф (г)-J-3J+ (г) -J(r)jdV, (6.48)
4я J
где для вычисления интегралов по переменной Й использованы математические тождества табл. 3.1
В разд. 3.3.5 приведено уравнение (3.49), которое было получено подстановкой потока нейтронов, определяемого уравнением (6.46), в односкоростное стационарное уравнение переноса LO = —Q. Из него были выведены два уравнения Р^прнближения (3.50) и (3.51). Если опустить переменную г, то они записываются так:
V-J + а0 ф = Q0; (6.49)
Уф +So1J = SQ1. (6.50)
Скалярное произведение Ф+ и LO можно получить, умножая уравнение
(6.49) на функцию Ф+, которая определяется уравнением (6.47), и интегрируя но всему интервалу изменения переменных й и г. Установлено, что полученный результат имеет такой же вид, как и результат суммирования и интегрирования скалярных произведений, образованных умножением уравнения (6.49) на ф+ и уравнения (6.50) на J+. При такой интерпретации скалярного произведения можно видеть, что в односкоростном Р^приближении сопряженные уравнения, соответствующие уравнению LO+ = —Q+, имеют вид
— V-J+ +а0 ф + = С}о', (6.51)
— уф ++ Z0i j+ = 3Qf. (6.52)
Кроме того, если поток удовлетворяет граничным условиям n-J = аф (см. разд. 3.1.5, где а = 1/2), то сопряженная функция должна удовлетворять условиям п• J+ = —аф+. .
212
Для доказательства того, что уравнения (6.51) и (6.52) являются сопряженными уравнениям (6.49) и (6.50) соответственно, умножим уравнение
(6.49) на ф + и уравнение (6.50) на J+, из полученных соотношений вычтем почленно уравнение (6.51), умноженное на ф, и уравнение (6.52), умноженное на J, и результат проинтегрируем по объему. Тогда левые части уравнений примут вид
/= ^[ф + V- J + J+-V ф + ф V- J+ + J-V ф+)йУ =
= jjv-[(<? + J) + (<?J+)]dV = $[(n-J) ф + + {п-3+) ф ] dA.
Если использовать граничные условия, то
/ = ^(аф ф+ — аф+ ф)йА = 0.
Односкоростное диффузионное уравнение (3.52), т. е.
— V • Dy ф + Oo ф — Qo, (6.53)
является самосопряженным. Это означает, что сопряженная функция ф + удовлетворяет уравнению такого же вида:
— У‘ОУф + + о0 ^ + = Qo-
Граничные условия также одинаковы для потока и сопряженной функции. Например, если п • Vф -f Ьф = 0, то и п- V</>+ -{- &</>+ = 0. В этом случае скалярное произведение можно получить, умножая уравнение (6.53) на ф+ и интегрируя его по всему объему.
В односкоростных методах дискретных ординат сопряженные уравнения получаются обращением всех направлений движения нейтронов. Например, в уравнениях (5.3) для плоской геометрии член ^дф/дх должен быть заменен членом — Pjd ф +/дх.
В приведенном выше обсуждении рассматривались операторы, которые являются сопряженными некоторым дифференциальным операторам. Когда дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям в конечных разностях, то необходимо, чтобы «сопряженные конечно-разностные уравнения» были действительно сопряженными конечно-разностным уравнениям для потока. Например, в двухмерном диффузионном приближении (см. разд. 3.4.2) поток
нейтронов представлялся вектором ф с числом компонент, соответствующим числу счетных точек, и конечно-разностные уравнения записывались в виде
Аф = s,
где А — некоторая матрица. Оператор, сопряженный А, представляет собой транспонированную матрицу, обозначаемую здесь A+, которая образуется перестановкой рядов и столбцов, т. е. [A+Iu- = [А ]*;.
В частном случае диффузионного приближения показано, что матрица А симметрична. Следовательно, A+ = А, и конечно-разностные уравнения оказываются самосопряженными.
Для более сложных приближений анализ конечно-разностных уравнений более труден. Было установлено, например, что «сопряженные конечно-разностные уравнения», применявшиеся в некоторых программах, использующих S^-приближение, не являются полностью сопряженными конечно-разностным уравнениям для потока нейтронов в криволинейной геометрии [9].
* Существует, к сожалению, полностью отличная матрица, которая обычно называется матрицей, сопряженной А [81.
213
6.2.3. МНОГОГРУППОВЫЕ P1-И ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Стационарные многогрупповые уравнения в Р^при-ближении для источника Q в подкритической системе определялись уравнениями (4.30) и (4.31) в следующем виде:
V-Jg +Оо,g ф g = 2ao.g'-g ф g' +Qolg; (6.54)
V ф ё + 3aljg Jg — 32 о і ,g' -*-g Jg' + SQiig, g = 1,2,... , G, (6.55)
g'
где суммирование по g' ведется от 1 до G. Соответствующие сопряженные уравнения для источника Q+ имеют вид:
V-Jg+a0>g </>g =2ao,g-+g' фg' + Q(!\g‘» (6.56)
g'
— V ф g + За і ,g Jg = 32 Oi ,g-*g' Jg' + 3Qi+,g, g= \,2,... ,G. (6.57)
g'
Сопряженные уравнения отличаются от уравнений (6.54) и (6.55) для потока, во-первых, знаками перед членами, содержащими градиенты функций, как и в односкоростном приближении, и, во-вторых, перестановкой индексов g Hg' в сечениях перехода в соответствии с общими свойствами ядра рассеяния, рассмотренными в разд. 6.1.3. Если граничное условие для потока имеет вид п • Sg = авф g, то для сопряженной функции п • Jg = —а8ФІ- Скалярное произведение можно образовать, например, умножая уравнение (6.54) на ф?, уравнение (6.55) на Jg, затем складывая их, суммируя результат по всем g и интегрируя по всему объему.
