Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из гл. 1 известно, что в точно критической системе без источников поток для больших времен не зависит от времени и пропорционален основному распределению потока Ф0 (г, й, Е), амплитуда которого А является функцией начальных параметров нейтрона г0, й0, E0. Таким образом, если время велико, то можно записать для больших tj
Ф (г, Й, Е, tf) = А (г0, й0, ?0)Ф0 (г, Й, E). (6.37)
Основное распределение Ф0 можно нормировать произвольно; удобно выбрать нормировку так, чтобы
(г, Й,Е)dvdQdE= 1.
Подобным же образом решение сопряженной задачи в моменты времени значительно более ранние, чем конечная величина tj, будет приближаться к постоянному значению С, умноженному на нормированное основное распределение сопряженной функции, т. е.
Ф+ (г, й, Е, 0) = СФо (г, й, Е). (6.38)
Подставляя выражения (6.37) и (6.38) в уравнение (6.35), находим, что
Фо (г0, йо, E0) = —- А (г0, йо, E0). (6-39)
О
Это соотношение означает, что стационарная сопряженная функция Фо (г0, й0, E0) для критической системы пропорциональна амплитуде основного распределения потока в точке г0, й0, E0.
6.1.12. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
Известно, что для определенных дискретных значений существуют решения уравнения
^J-Oj = LQ);, j = 0, 1,2,... (6.40)
V
Обычно, как показано в гл. 1, нет причин считать, что набор собственных функций {Ф;} является полным в том смысле, что решение задачи на начальное значение можно разложить по этим собственным функциям. Однако для некоторых простых приближений теории переноса нейтронов, например для многогруппового диффузионного приближения в одномерной геометрии с непрерывной пространственной зависимостью (см. разд. 4.4.3) [6] и для систем конечноразностных уравнений (см. разд. 4.4.6), собственные функции образуют полную систему, и по ним можно провести разложение решений нестационарного уравнения. Поскольку метод разложения по собственным функциям широко извес-
210
тен, он не обсуждается здесь подробно. Хотя в дальнейшем будет использовано обычное обозначение оператора переноса нейтронов, следует помнить, что предлагаемый метод справедлив только для некоторых частных случаев, таких, которые упоминались выше.
Рассмотрим однородную краевую задачу
TIT = l^ <6-41>
где Ф (г, й, Е, 0) известно. Сделаем теперь основное предположение, состоящее в том, что в любой момент времени t решение рассматриваемой задачи можно разложить в ряд по собственным функциям потока, соответствующим собственным значениям а3. Таким образом,
OO
Ф (г, Й, E,t)= 2 CiJ [t) ф; (г, Й, Е). (6.42)
/=O
Если подставить это разложение в уравнение (6.41), то, используя уравнение (6.40), получим
-L = (6.43)
V j at і і v
Умножим далее уравнение (6.43) на Ф* и проинтегрируем его по всем переменным. Используя соотношение ортогональности, полученное в уравнении (6.29),
(І/аФЛФ^О, іфі,
находим, что
da-Jdt = аг Cii
или
ai U) = ai (0) ехр (аг t)- (6.44)
Начальное значение at (0) можно найти, если умножить уравнение (6.42) при t = 0 на (1/у) Ф + и проинтегрировать его:
((ЇЛО Ф<+, Ф (t =0))
((1/у) Фг1-, Фг)
Решение уравнения (6.42) имеет, следовательно, вид
Ф (г, а, ?,<)=• у (<1/,?Ф. д? (1=10)W ФПГ, а, Я). (6.45)
/=о 1 ’
Очевидно, что в этом выражении Ф/+ является мерой ценности нейтрона в установлении гармоники потока Ф;. Ранее было показано без разложения решения в ряд по собственным функциям, что такое утверждение справедливо для частного случая / = 0.
Метод разложения в ряд по собственным функциям [см. уравнение (6.45)1 представляет большую практическую ценность только в том случае, если для хорошего представления решения оказывается достаточным небольшое число членов разложения. Этот метод обсуждается в гл. 10. Его можно использовать, например, для решения неоднородного нестационарного уравнения переноса
— і?. = іл> + <г.
V at
В этом случае способ нахождения решения в точности аналогичен описанному выше, за исключением того, что дифференциальное уравнение для a^t) содержит скалярное произведение (Ф/\ Q). Тем не менее это уравнение можно легко проинтегрировать, даже если Q — функция времени.
211
6.2. СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДАХ
6.2.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 3, 4 и 5 описывались различные методы получения приближенных численных решений стационарного уравнения переноса. В настоящем разделе рассмотрены некоторые уравнения, сопряженные тем, которые появляются в приближенных методах, в частности в P1- и диффузионном приближениях [7]. Как и в предыдущих главах, прежде всего будет изучена односкоростная задача, а затем полученные результаты распространены на многогрупповые приближения.
6.2.2. ОДНОСКОРОСТНЫЕ Pr, Sn-
И ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
В односкоростном Р1-приближении предполагается, что поток нейтронов определяется уравнением (3.44), т. е.
Ф(г,й) = -р- [ф (г)-f-Зй-J (г)]. (6.46)
4я
Если предположить, что подобное соотношение имеет место и для сопряженной функции, а именно:
ф+ (г, Й) = -J- [ ф + (г) + ЗЙ • J+ (г)], (6.47)