Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Когда возмущение потока ДФ не мало, как в случае сильного локального возмущения, то иногда существует возможность оценить ДФ п Ф* и использовать вместо уравнения (6.64) точное уравнение (6.63). Например, золотая фольга может вызвать значительные возмущения потока только тех нейтронов, энергия которых близка к энергии резонанса при 5 эв. Это возмущение можно рассчитать методами, представленными в гл. 8. Некоторые авторы термин «теория возмущений» применяют при использовании уравнения (6.63) с известным значением возмущенного потока Ф*. В этом случае термин «теория возмущения первого порядка» [10] связан с использованием уравнения (6.64).
6.3.3. ВОЗМУЩЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОГО
КОЭФФИЦИЕНТА РАЗМНОЖЕНИЯ
Исследования, аналогичные тем, которые проводились в предыдущем разделе для собственного значения а, можно применить и для определения влияния различных возмущений на собственное значение k, т. е. на эффективный коэффициент размножения. Уравнение переноса для этого собственного значения было выведено в гл. 1 [см. уравнение (1.49)1 и для потока нейтронов имеет вид
Q-УФ + аФ = ^ S oxfx(r,Q',E' Й, ?)Ф (г, Й', ?')<Ш' dE' +
f
+ Т ЯVOf (г; Е Е) Ф (Г’ ? ) dQ' dE>' (6'68)
Соответствующее сопряженное уравнение для собственного значения k+ есть
— Й • УФ+ + аФ+ = $ 2 Ox fx (г; Й, ?-> Й', ?') Ф+ (г, Й\ ?') dfl' dE' +
+ — ГГ —гаЛг,?->?,)Ф+(г,Й,,?,)гіЙ,гі?'. (6-69)
k+ JJ 4я
Особый интерес представляют главные (наибольшие) собственные значения k и k+, для которых в соответствии с результатами, полученными в разд. 1.5.5
и 6.1.10, функции Ф иФ* не отрицательны. Используя метод, изложенный в
разд. 6.1.10, можно показать, что k = k+. В этом нетрудно убедиться, если уравнение (6.68) умножить на Ф+, а уравнение (6.69) — на Ф, затем вычесть почленно из одного уравнения другое и результат проинтегрировать по всему интервалу изменения переменных г, й, ?. Члены, содержащие градиенты функций, взаимно уничтожаются в предположении, что Ф и Ф+ удовлетворяют граничным условиям свободной поверхности.
Предположим, что уравнения (6.68) и (6.69) применяются к невозмущенной исходной системе. На практике наиболее важной среди таких систем является в точности критическая система, для которой k = k+ = 1. Однако в общем случае ДЛЯ возмущенной системы, имеющей сечения О*, Ox fx и v*a* и собственное значение к*, поток Ф* удовлетворяет уравнению (6.68), в котором все соответ-
218
ствующие величины являются возмущенными и, следовательно, обозначаются звездочками. Таким образом,
Й . УФ* + а* Ф* = jj S о*х f* (г; Й', ?' Q, Е) Ф* (г, Й' E') dQ' dE' +
+ ~Т Г— v* °* (г'>Е> Е)ф* (г* ?')d?' ¦ (6-70)
^ J 4 л
Если теперь умножить уравнение (6.70) на Ф+ (г, й, Е), а уравнение (6.69) — на Ф* (г, й, ?), получившиеся выражения почленно вычесть одно из другого и результат проинтегрировать по всему !інтервалу изменения переменных г, й, Е, то получим точное уравнение, аналогичное уравнению (6.63). В общем случае
_l__ J_______1 . 1 _ Afe 1
k* ~ k* k k ~ kk* k ’
где Ak = k* — k представляет собой возмущение эффективного коэффициента размножения. В частном случае критической исходной системы k = 1; следовательно,
l/k* = I — Aklk*,
где Ak означает отклонение от критического состояния.
При использовании теории возмущений предполагается, что в первом приближении возмущенный поток Ф* можно заменить невозмущенным Ф. В этом случае изменение эффективного коэффициента размножения критической системы, возникшее в результате возмущения сечений Aa и A (of), дается выражением
—df ¦ ¦ ¦ f — va, (г; E'-> ?) Ф+ (г, Й, ?) Ф (г, Й, Е) dV dQ' dE'dQ dE « k* J J 4я
« — Aa (г, Е) Ф+ (г, Й, Е) Ф (г, Й, E)dV dQ dE +
+ § ... $ Д [о/ (г; Й',?'-> Й, ?)] Ф+ (г, Й, ?) Ф (г, Й\ ?') dV dQ' dE' dQ dE. (6.71)
Возмущения Aa и A (of) имеют тот же вид, что и в разд. 6.2.2, при этом требование малости величины Aa в равной мере относится и к данному случаю. Так как k* « 1, то из уравнения (6.71) можно получить, полагая в нем k* — 1, приближение первого порядка для Ak. Однако, как показано в гл. 9, более полезно полное уравнение для Aklk*.
Можно заметить, что уравнение (6.71) для изменений коэффициента размножения k, обусловленных возмущением сечений, аналогично уравнению (6.64) для изменения а. Действительно, правые части обоих уравнений имеют один и тот же вид. Единственное различие состоит в том, что в уравнении (6.71) фигурируют собственные функции, соответствующие собственным значениям k и k*, а в уравнении (6.64)—соответствующие собственным значениям а и a*. В односкоростном приближении влияния на величину k простых возмущений сечений аналогичны тем, которые даются уравнениями (6.66) и (6.67) для изменений а и качественно приводятся на рис. 6.1.
6.3.4. ВОЗМУЩЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Дальнейшее углубление знаний о свойствах сопряженной функции и теории возмущений может быть достигнуто из рассмотрения невозмущен ной исходной системы в критическом состоянии, т. е. системы са = 0, и сравнения ее с возмущенной слегка подкритической системой, которая поддержи вается в стационарном состоянии с помощью источника. Для исходной
