Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
/ЦенностьЧ f Вероятность^ /ЦенностьЧ /ВероятностьЧ /Ожидаемая цен-' і нейтрона \ І избежать \ I нейтрона \ / столкнове- \ ( ностЬ нейтро-
B момент H ст0лкн0ве- X В момент Ы ний за
\ j \ ний за время I \ времени I \
\ времени// \ At /V t + At J \вРемя д*
нов, возникающих в результате столкновении / I Il III IV
т. е.
Ф+ (г, Q, Е, t)= [(1 — оиД*)] [Ф+ (г + QvAt, Q,E,t + Д/)] +
і и
+ [ovA/] [Ц of (г; Й, E Й' E') Ф+(г, Й', t) dfl' dE'], (6.22)
III IV
где физический смысл выражений I, II, III, IV, стоящих в квадратных скобках уравнения (6.22), объясняется приведенным выше соотношением. Уравнение (6.22) представляет собой математическое выражение закона сохранения ценности нейтронов. Если нейтрон находится в зоне действия детектора в момент времени t, то появляется дополнительная вероятность VOdAt. того, что детектор будет активироваться в течение времени At, и эта вероятность должна быть включена в ценность нейтрона в момент t. Следовательно, величина VOdAt должна быть добавлена к правой части уравнения (6.22).
Разделим обе части уравнения (6.22) на vAt и возьмем предел при At 0. Используя соотношение
Iim Г ф+(г + йиД*’ й.?.*+ д*)~ Ф+0-. а. Е, t) 1 л , дФ+
Iim Г ф+(г + ^А*.в.?.*+ Д/)-Ф+(г,о,?, Q I ^ уф4. t-* о L VAt J
V At J vdt
аналогичное тому, которое приводилось в разд. 1.1.3, и вводя определение
Q+ (г, Е, t) = Od (г, ?, t),
206
получаем
_ j_ дФ+ _ а # уф+ + аФ+ =
V dt
= Ц of (г; Й, E -> Q', ?') Ф+ (г, Й', ?', *) dfl' d?' + Q+ (г, Е, t). (6.23)
Этому уравнению должна удовлетворять любая нестационарная функция ценности. В стационарном случае первый член в левой части уравнения и временную переменную t момсно исключить, в результате чего получится уравнение, идентичное уравнению (6.10), в котором вместо Od (г, E) стоит Q+ (г, Е).
Граничное условие для решения уравнения (6.23) можно получить, если заметить, что нейтрон, только что покинувший свободную поверхность, должен HNieTb нулевую ценность, так как согласно определению свободной поверхности он не может вернуться в активную зону. Следовательно, соответствующее граничное условие свободной поверхности имеет вид
Ф+(г, Q,E, /) = 0, п»й>0
для всех г на границе.
Интересно сравнить уравнение (6.23) с нестационарным уравнением переноса нейтронов. Как показано в гл. 1, уравнение переноса можно рассматривать как задачу с заданным начальным значением. Если величина Ф(г, й, E, 0) задана, то уравнение переноса можно в принципе использовать для определения Ф во все последующие моменты времени. Для уравнения (6.23) ситуация в корне другая; его в противоположность уравнению переноса можно рассматривать как задачу с заданным конечным значением. Если Ф+ задана в некоторый конечный момент времени t = tf, то можно найти значения Ф+ в более ранние моменты времени, интегрируя уравнение (6.23) назад по времени. Математически причина такого различия рассмотренных выше уравнений состоит в том, что производные по времени в уравнении (6.23) и в уравнении переноса (1.14) имеют противоположные знаки. Физически же это означает, что активация детектора (или источник в сопряженном уравнении) в некоторый выделенный момент времени влияет на ценность нейтронов для активации детектора во все более ранние моменты времени, но не может влиять на ценность нейтронов в более поздние моменты времени. Для потока нейтронов, однако, ситуация прямо противоположная: источник в любой данный момент времени не влияет на поток в более ранние моменты, но воздействует на поток нейтронов в более поздние моменты времени.
6.1.10. СПЕКТР СОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА и КРИТИЧНОСТЬ
Сопряженное уравнение (6.23) можно записать в виде ---------¦^ = L+(D+ + Q+ (6.24)
V at
где L+ — стационарный сопряженный оператор, представленный в уравнении (6.7). Как и в случае уравнения переноса (см. разд. 1.5.1), рассмотрение уравнения (6.24) можно начать с изучения, однородного уравнения
----L ЛЗИ. = L+ ф+. (6.25)
V dt V ’
В частности, представляют интерес решения, для которых
dOtIdt = -Oit Фt (6.26)
или
— Ф,+ = 1 + Ф,+. (6.27)
V
207
Установлено [4], что спектр собственных значений сопряженного оператора vL+, т. е. значений аг+, для которых уравнение (6.27) имеет решение, аналогичен спектру собственных значений уравнения переноса, рассмотренного в разд. 1.5.2. В этом случае существует действительное значение а/+, обозначаемое ао , которое больше действительной части любого а? (предполагается, что соответствующая собственная функция Фо всюду неотрицательна). Как и в гл. 1, критичность системы можно в этом случае определить, основываясь на знаке асГ: для ао > О — система надкритична, для ао = 0—критична и для ао<0 — подкритична.
Необходимо отметить, что, как следует из уравнения (6.26), в надкритической системе, когда собственное значение ао положительно, Ф+ убывает со временем. Это соответствует физической интерпретации функции ценности. В надкритической системе нейтрон в более ранние моменты времени будет иметь относительно большую ценность, чем в более поздние, так как в первом случае он имеет дополнительное время на то, чтобы вызвать размножение и, таким образом, привести к большей активации детектора.
