Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
а* = а + Да и а*/* = а/ + A (of).
Такое возмущение может возникнуть из-за изменений плотности вещества или микроскопических сечений, а также из-за перемещения поверхности. В этом случае уравнение для возмущенного собственного значения а* имеет вид
— Ф* + Й-УФ* + а*Ф* =
= $о«7*(г;0',?'->Й,?)Ф*(г,Й',?')<Ш'^', (6-62)
где Ф* — возмущенный поток нейтронов.
Уравнение (6.62) умножается на Ф+, а уравнение (6.61) — на Ф*. Последнее выражение вычитается из первого и результат интегрируется по всем переменным г, й, Е. Таким образом, получаем
(a* — a+) JjJ- Ф* Ф+ dV dQdE= —JJJ(Да) Ф* Ф+ dV dQ dE +
+ J ... J Д[а/ (г; Й', E' QtE)] Ф* (г, Й\ ?') Ф+ (г, Й, ?) dV dQ' dE' dQ dE. (6.63)
Следует отметить, ЧТО ЭТО уравнение является ТОЧНЫМ И выполняется ДЛЯ: любых Да и Д (of), больших или малых.
Для небольших возмущений предполагается, что Ф* =Ф + ДФ, где Ф — решение уравнения (6.60). Это выражение дляФ* можно подставить в уравнение (6.63) и пренебречь всеми членами, содержащими ДФ, так как они всегда входят в уравнение в виде произведения сомножителей, каждый из которых представляет малую величину, так что произведение есть величина второго порядка малости. Кроме того, разность а* — а+ можно заменить Да, так как а = а+ для главных собственных значений. В результате таких преобразований получим
Да Jjj — Ф+ OdVdQdE « — JjJ(Да)Ф+ OdVdQ dE +
+ $... $ Д [of (г; Й\ ?'->Й, ?)] Ф(г, Й\ E') Ф+ (г, Й, ?) dV dfl' dE' dQ dE, (6.64)
где Да — изменение а из-за возмущения сечений а и of, т. е. Да и A (of) соответственно. Это уравнение для Aa содержит только невозмущенный поток нейтронов и его сопряженную величину, а также изменения сечений.
Для определения влияния на полную интенсивность размножения эти изменения сечений взвешиваются как по потоку нейтронов, так и по сопряжениой-функции (или ценности).
Характер зависимости а от изменений сечения а можно получить, рассматривая односкоростную задачу. В соответствии с уравнением (6.20) Ф+(г, й) = = Ф(г, — й) для критической системы, но можно показать (методом, изложен-
216
ным в разд. 6.1.6), что это соотношение справедливо также для основного распределения в подкритической и надкритической системах. В этом случае уравнение (6.64) приобретает вид
Да/а ^ Ф (г, — й) Ф (г, Q)dVdQ = — ^ (Да)Ф(г, — й)Ф(г, Q)dV dQ +
+ Д [of (г;Й'-> Й)] Ф (г, Q') Ф (г, — Q) dV dQ' dQ. (6.65)
Некоторые физические аспекты этого уравнения можно понять, рассматривая голую сферу.
Предположим сначала, что существует изменение Да = Aoa сечения поглощения нейтронов, однако сечения рассеяния и деления остаются неизменными, так что Д (of) = 0. Для такого возмущения в односкоростном приближении уравнение (6.65) записывается в виде
Да = const [ — ^ Aoa (г) Ф (г, —Q) X
X Ф(г, Q)dVdQ). (6.66)
Как показано в разд. 3.3.2, в центре сферы поток нейтронов изотропен и обычно достигает максимального значения. Следовательно, увеличение сечения поглощения Aaa при г = 0 приводит к относительно большому и отрицательному изменению величины Да, Итак, увеличение сечения поглощения в центре сферической размножающей среды вызывает относительно большое уменьшение полной интенсивности размножения а. Однако на свободной поверхности, например на границе сферы, поток Ф (г, й) = 0, если п • Й < 0, и Ф (г, —Q) Ф (г, Q) = 0 для всех значений й. Таким образом, а не зависит от малых изменений сечения поглощения на поверхности сферы. Эти выводы находятся в хорошем согласии с ожидаемыми из физических соображений результатами.
В качестве следующего шага рассмотрим возмущение сечения рассеяния при неизменном сечении поглощения. Предположим, что к сечению рассеяния добавляется небольшое изотропное приращение, так что Да = Да8 (г) и A (of) = Дст8 (г)/4л. В этом случае последний член уравнения (6.65) можно проинтегрировать по углам й' и й:
Да = const [ — ^ Aos (г) Ф (г, — й) Ф (г, й) dV dQ +
В центре сферы Ф (г, й) = (1/4я) ф (г), так как поток нейтронов изотропен. Следовательно, два члена в правой части уравнения (6.67) идентичны, и изменение равно нулю. Таким образом, изменение только сечения рассеяния в центре сферической размножающей системы не влияет на величину а. При возмущении сечения рассеяния на граничной поверхности первый член в правой части уравнения (6.67) равен нулю, так как произведение Ф (г, — й) Ф (г, й) равно нулю, но второй член положителен, следовательно, изменение Да положительно, т. е. величина а возрастает.
Таким образом, изменения сечений рассеяния и поглощения по-разному влияют на величину а, и это различие качественно приводится на рис.6.1. Кривые представляют характер изменений а при изменениях сечений поглощения или рассеяния как функцию расстояния от центра голой сферы радиусом ^"макс-
Рис. 6.1. Качественное влияние на величину а локального увеличения сечений поглощения и рассеяния в голой сфере.
217
В заключение необходимо отметить следующее. Если в размножающую систему вводится сильно поглощающий материал, то изменение сечения Aa будет велико, и теория возмущений в этом случае оказывается неприменимой. Это связано с тем, что при переходе от уравнения (6.63)' которое является точным, к уравнению (6.64) делается предположение о малости изменения по сравнению с значением потока Ф в области, где произошло изменение сечений. Следовательно, условие применимости уравнения (6.64) состоит в том, чтобы локальное возмущение потока нейтронов было мало.
