Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белл Д. -> "Теория ядерных реакторов" -> 118

Теория ядерных реакторов - Белл Д.

Белл Д. Теория ядерных реакторов — Москва, 1974. — 494 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyayadernihreaktivov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 264 >> Следующая


Несколько отличным от описанных применением вариационного метода является конструирование приближенных решений, систематически приближающихся к точным. Примером такого рода, рассмотренным в разд. 6.4.9, может служить самосогласованное получение групповых констант, которые можно использовать для многогрупповых расчетов.

6.4.2. ОЦЕНКА УСРЕДНЕННЫХ ПО ПОТОКУ ИНТЕГРАЛОВ

Рассмотрим стационарное неоднородное уравнение, описывающее подкритическую систему с источником. Предположим, что точный поток Ф0 удовлетворяет уравнению

-LO0 = Q, (6.84)

где L — оператор переноса нейтронов. Он может быть интегральным оператором (см. разд. 1.2.1 и последующие) или приближенным, таким, как оператор

228
Р^приближения. В последнем случае Ф0 будет двухкомпонентным вектором, имеющим в качестве компонент полный поток и ток нейтронов. Сопряженное уравнение будет иметь вид

— L+Фд = Q+, (6.85)

где Q+ — сопряженный источник.

Далее показано,как можно применить вариационную теорию таким образом, чтобы использовать приближенные значения потока нейтронов и сопряженную функцию для получения точного значения скалярного произведения (Q+, Ф0), т. е. усредненного по потоку интеграла J Q-KD0C^, где ? — переменные интегрирования. Сопряженный источник в этом случае определяется в соответствии с рассматриваемой задачей. Предположим, например, что требуется определить точное значение скорости деления j O1O0Ctt 33 счет данного источника Q при наличии только неточной оценки потока Ф0. В этом случае источник в сопряженном уравнении, как будет показано ниже, следует выбирать соответственно в виде Q+ = Of (г, Е), где O1—сечение деления. Улучшенную оценку самого потока можно получить, полагая, что источник Q+ имеет вид б-функнии.

В данном случае будем считать, что функции Ф0 и Фо удовлетворяют обычным граничным условиям свободной поверхности для потока и сопряженной функции и что обе они являются непрерывными функциями пространственных переменных. Если L — оператор переноса, то, как было показано выше, (Фо, ЬФ0) = (Ф0, L+Фо). (Ниже показано, чтоесли Ф0 и Фо не удовлетворяют граничным условиям и условиям непрерывности, то это соотношение не 'выполняется.) Чтобы получить точное значение скалярного произведения (Q+, Ф0) из неточного значения потока Ф, используем функционал J, определяемый в виде [18]

J = (Q+, Ф) + (Ф+ Q) + (Ф+, 1Л>), (6.86)

где Ф и Ф+— приближенные оценки точных значений потока Ф0 и сопряженной функции Фо , часто называемые пробными функциями, такие, что

Ф = Ф0 + 6Ф и Ф+ = Ф0++бФ+. (6.87)

Кроме того, постулируем для рассматриваемого случая, что пробные функции Ф и Ф+ удовлетворяют граничным условиям и условиям непрерывности. Модификации задачи для различных пробных функций обсуждаются ниже (см. разд. 6.4.6).

Подставляя соотношения (6.87) в уравнение (6.86), получаем

J = (Q+, Фо) + (Фо+, <г) + (Ф0+. ЬФ0) + (бФ+, Q) +

+ (6Ф+, DD0) + (Q+, 6Ф) + (Ф0+, ЬбФ) + (6Ф+, ЬбФ). (6.88)

В этом уравнении три первых слагаемых в правой части равны точному значению функционала, обозначенного J0. Кроме того, все эти члены равны друг другу по абсолютной величине, так как в соответствии с уравнениями (6.84) и (6.85), а также из определения L+ следует, что

(Q+ Ф0)= -(ф0> 1 + Ф0+)= -(Ф0+, 1Л>0) = (Ф0+, Q)= J0- (6.89)

Два последующих члена согласно уравнению (6.84) взаимно уничтожаются, так же как и два следующих за ними, что можно видеть из уравнения (6.85) и тождества

(Ф0+, ЬбФ) = (бФ, L+ФоЧ,

229
которое выполняется, поскольку 6Ф удовлетворяет требуемым граничным условиям и условиям непрерывности. Следовательно, уравнение (6.88) приводится к виду

/ = /0 + (бФ+, ЬЬФ). (6.90)

Из этого результата следует, что приближенное значение функционала J, основанное на неточном значении потока, равно искомому точному значению функционала J0 с поправкой, пропорциональной скалярному произведению (6Ф+, ЬбФ). Если эти члены в скалярном произведении малы,то поправка — величина второго порядка малости, и функционал J будет очень хорошим приближением к точному значению J0 = (Q+, Ф0). В частности, ожидается, что функционал J будет лучшим приближением к точному значению, чем, например, приближение, полученное из скалярного произведения (Q+, Ф), так как оно будет иметь ошибку (Q+, 6Ф), что есть величина первого порядка малости. Если требуется получить скорость делений (0/,Фо), то из уравнения (6.89) следует, что Q+ нужно выбирать равным сечению деления Oj.

Для частного случая односкоростного приближения с изотропным рассеянием приведенные выше соотношения можно вывести строго, однако для более общих задач переноса нейтронов это связано, как будет показано ниже, с некоторыми трудностями. Причина того, что вариационные методы оказываются таким мощным расчетным аппаратом в односкоростной теории, состоит, как уже указывалось, в том, что оператор переноса нейтронов в этом случае является почти самосопряженным. Действительно, для односкоростных задач оказывается весьма плодотворным использовать интегральный вид уравнения переноса (см. разд. 1.2.3), которое включает в себя полный поток и самосопряженный или симметричный интегральный оператор.
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 264 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed