Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим элемент объема dV' около точки г (рис. 1.7). Скорость появления нейтронов в dV' за счет столкновений и источников
[а (г'; Е'-+Е) ф (r', E') + Q (г, E)]dV'.
Эти нейтроны равномерно испускаются из dV', и если бы в среде не было ослабления, их вклад в поток нейтронов в точке г был бы:
[д(г'; ?'->-?) ф (r', E')+ Q (r', E)]dV'
4я I г — г' Iа
Ослабление в среде уменьшает этот вклад в ехр (—о | г — г' |) раз. Теперь поток нейтронов с энергией E в точке г может быть найден суммированием вкладов от всех возможных элементов объема dV'. Полученный результат, очевидно, будет тождествен уравнению (1.30). Этот вывод имеет место для очень простого специального случая, но тот же подход может быть использован для получения уравнения (1.27).
1.2.4. АНИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ
Когда рассеяние нейтронов анизотропно, интегральное уравнение для одного ф получить нельзя, так как должна быть учтена угловая зависимость распределения нейтронов. Тем не менее можно вывести интегральное уравнение, ядро которого подобно ядру уравнения (1.29). Прежде всего следует снова воспользоваться тем, что q — сумма нейтронов источников и рассеянных нейтронов. Пусть 1F (г, й0, E0, t) означает вклад в q нейтронов, появляющихся в единицу времени в результате рассеяний в единице объема с направлением внутри единичного телесного угла около й0 на единичный интервал энергии около E0. Таким образом,
1F (г, Q0, E0, t) =Jj Jj Ф (г, Q,E,t) of (г; Q, E-^Q0, E0) dQdE q(г, Q, Е, /) = ?(г, Й, Е, t) + Q(г, Й, Е, t).
24
О
dv
Рис. 1.7. Элементы объема для интегрального уравнения.
Если уравнение (1.27) умножить на of (г; Q, E-+Q0, E0) и проинтегрировать по dQ и dE, то в результате получим
OO >
(г, Q0,?0, О = j of? j o!Q ехр — j o(r—s"Q,E)ds"
X
X of (г;Й, E-+Q0, E0)
1F г — s'Q,Q,?,f —
ds'.
-Ь
+ Q —s' Q1 й, EJ--?-)'
После замены г — s'Q на г', как в разд. 1.2.3, и перехода к интегрированию по объему, так что
а также с учетом того, что Q = (г — г')/|г — г'|, последнее выражение приводится к виду
TJf
XOf (г;
(г, Q0, E0, t) =^dE ^ |г_-,- ехр [—т(?, г' ->г)] х
J—7——!) +
г —г' I
г г—, E-+Q0,E0 )|W г', -^77, EJ
Ir—г'
+-Q Г',
г — Г
Ir —г' I
, EJ-
Ir-г' I
(1.31)
За исключением множителя of под знаком интеграла, ядро интегрального уравнения (1.31) подобно ядру уравнения (1.29). Интегральное уравнение в форме (1.31) использовалось для решения некоторых односкоростных задач и изучения простых форм анизотропии [10].
Интегральное уравнение переноса с энергетической зависимостью редко используется при решении реакторных задач. Тем не менее изложенный подход, в рамках которого поток в точке г считается обусловленным вкладом из всех точек г', оказался полезным в некоторых особых случаях. Примеры этого представлены при определении вероятностей столкновения в гл. 2 и 8, а также при описании широко используемых методов расчета спектра тепловых нейтронов в3(гл. 7. В рамках односкоростного приближения интегральный метод часто использовался при нахождении математических свойств решений [II].
1.3. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ
ГЕОМЕТРИЙ
1.3.1. ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИИ
При решении уравнения переноса возникает необходимость иметь конкретное выражение для величины Q • VN, которая описывает растечку нейтронов в системе. Это выражение может быть легко получено в тех случаях, когда положение точки описывается в прямоугольных, сферических или цилиндрических координатах. Для описания направления движения нейтрона требуются две угловые координаты; обычно выбираются полярный и азимутальный углы (см. разд. 1.7.1). Вычисление Q • VN упрощается, если принять во внимание, что это выражение есть пространственная производная Лт в направлении Й. Для простоты энергетическая и временная переменные опущены.
25
Для плоской геометрии, где плотность нейтронов (для данной энергии) есть функция 2 и 0 (рис. 1.8),
dN
п dN dN dz dN с 0
Й • VN = — =— • — = — cos 0
ds dz ds dz
где (.і = cosO. В этом случае удобно заменить N {г, Й) на N (2, р.), а !три интегрировании по всем направлениям — dQ на й\ійц> в полярной системе координат (см. разд. 1.1.2). Так как распределение нейтронов в плоской геометрии имеет азимутальную симметрию, интегрирование по ф дает 2я. Поэтому
Рис. 1.8. Движение нейтрона D плоской геометрии.
Рис. 1.9. Движение нейтрона в сферической геометрии.
Для сферической геометрии, т. е. для случая сферической симметрии относительно точки, удобно рассматривать направление движения нейтрона по отношению к радиусу-вектору г. Если, в частности, Si • г=|х (г— единичный радиус-вектор), то N — функция только г и |х. Ho так как нейтрон движется от столкновения до столкновения с постоянным Й, значение |Л меняется, от cos 0 к cos О' (рис. 1.9). Поэтому
Q -VN (г ц.) - dN (Г) ^ dN dr і dN
ds dr ds ^ ф ds '
Ho
— — p. = cos 0; ds
da d cosO dO • r\ I sin0\ I—a2
— ----------------- —Sin 0------------------!— .
ds dQ ds \ r I r
Следовательно,
