Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
1.1.5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Уравнение переноса формулирует условия сохранения числа нейтронов в бесконечно малом элементе объема фазового пространства, включающего пространственные переменные, направление и энергию. После интегрирования по всем направлениям полученное уравнение будет описывать сохранение числа нейтронов для малого элемента объема и малого интервала энергии. Следует заметить, что так как оператор градиента включает только производные по пространственным координатам
Й • WV = V • QN (1.16)
зі поэтому
V \Q-VNdQ = vV- ^QNdQ = V-J
4Л 4л
в соответствии с определением тока нейтронов J [см. уравнение (1.6)], то интегрирование уравнения (1-13) по всем Й дает:
— + V-J-r ovn = Г а (г; E'-+- Е) v' п' dE' -j-Q, (117)
dt J
где ti — п (г, Е, t) и п' ~ п (г, E', Ґ) — плотности нейтронов;
Q =Q(г, Е, t) = JQ(г, Й, Е, t)dQ\
о (г; ?' Е) = J а (г, ?') / (г; Й', E' ft,*E) dQ, (1.18)
Последний интеграл является определением о (г, E' Е) — сечения такого процесса в точке г, который приводит к замене нейтрона с энергией E' нейтроном с энергией Е. После интегрирования уравнения (1.17) по всему пространству и по энергии получаем уравнение сохранения для всех нейтронов в системе:
д ff ndVdE Л „ . „
- + V-JdVdE-\ ( (vondVdE = J Г Jc(r; E'-+E)v'n'dE'dVdE-\-
Ot
+ JjQdl/d?. (1.19)
Каждое из пяти слагаемых в уравнении (1.19) имеет ясный физический смысл.
Величина JJ ndVdE — полное число нейтронов в системе, поэтому первое слагаемое (I) есть скорость изменения числа нейтронов во всей системе. Применение ко второму слагаемому (II) теоремы Гаусса—Остроградского
дает
V-JdVdE= JJ J-ndddE,
V А
где dA — элемент поверхности А, ограничивающей рассматриваемый объем; п — единичный вектор, нормальный к элементу поверхности и направленный наружу. По определению J • п— результирующий ток нейтронов через еди-
28
ницу поверхности в единицу времени. Поэтому слагаемое II есть полное числа нейтронов, покидающих систему в единицу времени.
Третье слагаемое (III) определяет полное число столкновений нейтронов в системе в единицу времени, а четвертое (IV)— полное число нейтронов, ПОЯВЛЯЮЩИХСЯ в системе в единицу времени в результате столкновений. Поэтому разность между этими двумя слагаемыми (IV—III) определяет результирующую генерацию нейтронов в системе в результате столкновений.
Наконец, последнее слагаемое (V) определяет поступление нейтронов в систему за счет независимых источников. Если уравнение (1.19) переписать в таком виде:
I = (IV-III) + V — II,
то оно действительно будет отражать закон сохранения в рассматриваемо;"» системе:
Изменение Появление Появление Результирующая
числа ____нейтронов , нейтронов _утечка
нейтронов в результате ^ источника нейтронов,
в системе столкновений
1.1.6. ЛИНЕЙНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Однородное (без источников) уравнение переноса
-I-^.+Й- УФ + аФ= f J о'/Ф'dQ' dE'
линейно в ТОМ смысле, ЧТО если Фг И Ф2 (или Ni И N2 В соответствующем ураВ' нении для dNldt) есть решения уравнения, то и Фх + Ф2 (или N1 + N2) — также решение. При этом должны выполняться некоторые (однородные) граничные условия.
Для неоднородного уравнения переноса, т. е. для системы с источниками, это свойство имеет важное следствие. Если решение Ф2 соответствует источнику Q1, а решение Ф2 — источнику Q2, то при определенных условиях поток Фг -J- ф2 есть решение для источника Q1 + Q2. Вообще, если сложный источник Q может быть разделен на несколько более простых источников Qi, так что
Q = 21 Qb то поток Ф, соответствующий Q, будет Ф = 2ФЬ где каждое
і
Ф, — решение уравнения переноса для источника Qi, удовлетворяющее сформулированным ниже граничным условиям.
Аддитивность решений Фг означает, что решение уравнения переноса для любого как угодно сложного источника может быть найдено как суперпозиция решений для простых точечных (или других подходящих) источников. Решение для такого простого источника называется функцией Грина рассматриваемой задачи; для различных геометрий могут быть найдены подходящие формы функции Грина. Функция Грина (односкоростная) выведена для плоской геометрии в гл. 2.
В качестве примера использования функции Грина рассмотрим прежде всего стационарное уравнение переноса для потока (1.14) (т. е. дФIdt = 0). Полученные результаты затем обобщены для нестационарного случая.
Пусть функция Грина G(r0, Й0, E0-+г, Й, Е) есть поток нейтронов энергии E в точке г с направлением Й, создаваемый источником в точке г0, испускающим один нейтрон с энергией E0 в направлении й0. По определению, она удовлетворяет уравнению переноса (1.14). Тогда для свободной внешней поверхности
Q.VG + cG = JJ<x7G'dQ'd?' + 6(r —r0)6(ft —Й0) б(Е — E0), (1.20)
IS
где
G G (r0, Q0, E0 -> г, Й, Е);
G' =G (г0, Q0f E0-г', Й', E').
Другие обозначения имеют тот же смысл, что и прежде.
Если Ф (г, Й, Е) — решение уравнения переноса для произвольного источника Q (г, Й, Е), то вследствие линейности этого уравнения
