Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Это выражение несколько упрощается, если положить r0 -j- sli = г и -S--І- siv = t и заменить знак переменной интегрирования так, чтобы пределы интегрирования в последнем выражении были (0, оо) и (0, s'):
Это уравнение и есть искомое интегральное уравнение переноса нейтронов. Оно означает, что поток в точке г обусловлен нейтронами, которые появились во всех точках г — s'CJ с направлением й и энергией E при всех положитель-
ных s. Выражение ехр ' о (г — s"CJ, Е) ds") есть коэффициент ослабления,
по s' может быть проведено только до границ рассматриваемой области, если отсутствует входящий поток нейтронов. В этом рассмотрении нет необходимости полагать s->—оо; достаточно считать, что г + sft распространяется до границы. При отличном от нуля потоке входящих нейтронов его можно заменить эквивалентным поверхностным источником нейтронов (как в разд. 1.1.6) при сохранении внешней поверхности свободной.
В связи с изложенным представляют интерес два соображения. Так как 1/а равно среднему свободному пробегу, показатель степени в коэффициенте ослабления равен числу средних свободных пробегов между столкновениями вдоль прямой линии между г и г — s'li. Он часто называется оптической длиной пути между двумя точками или оптической толщиной и обозначается г (?, г — s'Q -> г). Если с постоянно, т есть просто а |s' |.
Далее, если явное выражение для q (1.24) подставить в уравнение (1.27), результат можно представить в виде
где К —• соответствующий интегральный оператор; Q' — известная функция, если известно Q.
[ф(г0 + 5Й> t0+s/и) exp о (г0 + s' G, ?')ds')J =
S
= exp Jj о (r0 + s' Q, ?) ds'J <7 (r0 + sQ, Й, Е, t0 + s/v). (1.26)
Ф (г0 + s&, Й, Et t0 + siv) -V 0 при S-*- —оо.
S
Ф (г0 + sii, Q, Е, t0 + Siv) exp о (г0 + S' G, Е) ds'J.
Умножение обеих частей этого уравнения
Ф (г0 + s(2, Q, Е, t0 + s/v) = j* exp — j о (r0 + s" Й, E) ds” x
-OO
X<7(r0 + s'ft, Qt Et t0+s'/v)ds'.
OO
Ф(Г. Й. E, t) — ^ exp ^ — ^a(r—s"li, ds" q(r—s'Q, Qt E, t — s'/v)ds'. (1.27)
о O
s'
характеризующий уменьшение потока при достижении s = 0. Интегрирование
ф = КФ + Q'
(1.28)
‘22
Рассмотрим итерационное решение уравнения (1.28):
Фо = Q'; фг = КФ0; Фп+1 = КФ„.
Очевидно, Ф0 — это поток нейтронов, которые не испытали столкновения после попадания в рассматриваемую систему из внешнего источника. Подобным же образом, Ф1 — поток нейтронов, испытавших одно столкновение и т. д. Если
оо
пяд Фп сходится, он представляет собой решение уравнения (1.28). Такой под-
п=0
ход, при котором нейтроны нумеруются по столкновениям, часто используется и в дальнейшем применен в этой книге.
1.2.3. ИЗОТРОПНЫЕ ИСТОЧНИКИ И РАССЕЯНИЕ
Интегральное уравнение переноса (1.27) может быть проинтегрировано по всем направлениям. Рассмотрим, например, простой случай изотропного рассеяния и изотропных источников, когда / и Q не зависят от й или й'. Тогда
а/ (г; Й', E' -> Й, Е) = — а (г; E' Е)
4я
в соответствии с определением а (г; E' -*¦ Е) (1.18) и
Q (г, Й, Е, t)=-j-Q (г, Е, ().
4п
Ha основании определения (1.24)
q (г, Й, E,t) = -J- С а (г; Е'-+Е)ф (г, Е\ t) dE' + -J-Q (г, Е, t),
4л J 4 л
где интеграл от потока в правой части заменен соответствующим значением Ф (г, E', і).
Полученное таким образом выражение для q может быть подставлено в уравнение (1.27), которое затем интегрируется по всем направлениям й. В результате получается уравнение для полного потока нейтронов ф (г, Е, t). Величина dsdQ в правой части уравнения есть dV'/(s')2. Интегрирование проводится по всему объему системы. Заменяя г — я'й на г' и dsdQ на dV'/ (s')2 = = dV' і (I г — r' I2), получаем:
ф (г, ?. O-J ехр [-.(?; Г'-Г)1(Г', ?, +
+ ^а(г'-,Е'-+Е)ф (г \Е\ Ye' ]. (1-29)
Уравнение (1.29) для изотропного рассеяния и источников часто используется при решении односкоростных задач, когда энергетическая переменная отсутствует. Оіедует отметить, что (1.29) — выражение только для полного потока. Угловое распределение нейтронов не описывается этим уравнением в силу сделанных предположений о изотропности.
Если обозначить R = |г — г'|, то в простом случае постоянного по всему рассматриваемому объему полного сечения и независимости ф от времени уравнение (1.29) принимает вид
(1.30)
Ф (Г’ Е) = J ЄХРІ^?) ^ dV> [Iа (Г'<г'’ ?')dE' + Q (г‘'•
Величина в квадратных скобках [так же как и в уравнении (1.29)1 есть скорость (изотропного) появления нейтронов с энергией E в точке г' за счет столкновений и внешних источников. Множитель ехр [—a (E)R]/4nR2 — вероятность того,
23
что нейтрон, появившийся в точке г', достигнет точки г без столкновений. Интегрирование по всем г' означает суммирование всех возможных источников нейтронов. Следует отметить, что ехр (—о (E)R)/4nR2— функция Грина (см. разд. 1.1.6) для единичного изотропного источника в точке г' в поглощающей среде. Подобные выражения в других формах интегрального уравнения переноса также являются функциями Грина.
Приведенную выше интерпретацию можно использовать для другого метода получения интегрального уравнения переноса на основе рассмотрения сохранения числа нейтронов подобно тому, как это было сделано при получении интег-ро-дифференциальной формы уравнения. Для простоты возьмем стационарный случай с изотропными источниками и рассеянием. Рассмотрим нейтроны, которые в момент времени t находятся в элементе объема dV около точки г. Поток в единичном интервале энергий есть ф (г, E) dV. Каждый из этих нейтронов достигает г либо непосредственно после появления в системе за счет внешних источников, не испытав ни одного столкновения, либо после предшествующего столкновения. Поэтому все нейтроны в точке г могут быть разделены на две категории в соответствии с тем, испытали ли они хотя бы одно столкновение после появления в системе или нет.
