Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение переноса вместе с граничными условиями определяет поведение нейтронов в рассматриваемой системе. Таким образом, если при t = О задана плотность нейтронов N (г, Й, Е, 0), ожидаемая плотность для любого момента времени может быть, в принципе, найдена при решении уравнения переноса. Было показано [15], что такое решение существует и единственно, если сечение и источники удовлетворяют некоторым математическим условиям. На практике эти условия всегда выполняются. Критичность системы теперь будет рассмотрена на основании асимптотического (t -*• оо) поведения решения.
Однородное (без источников) уравнение переноса, т. е. уравнение (1.13) без Q, может быть записано в виде
32
где L — оператор, вместе с граничным условием (отсутствие входящих в систему нейтронов). Некоторые важные особенности проблемы критичности могут быть рассмотрены при изучении решения уравнения
%-LN (!.42)
в форме
N = N (г, Й, Е) exp (a t),
для которого
осN (г, Й, Е) = LN (г, Й, ?).
Существует множество значений (собственных значений) ос, обозначаемых a,j, которым соответствуют решения (собственные функции) Nj, т. е. aj Nj = LNj.
Предположим, что решение можно разложить в ряд по собственным функциям Nj. Если а0 есть значение осимеющее наибольшую действительную часть, то можно ожидать, что, когда t велико, решение будет пропорционально N0 (г, Й, E) exp (a0t). Различие между подкритической и надкритической системами определяется знаком собственного значения а0. Физически следует считать, что а0 действительно, т. е. отсутствуют осцилляции плотности нейтронов, так как их наличие означало бы возможность появления отрицательных или мнимых значений плотности нейтронов. Далее, N0 должно быть везде неотрицательно, т. е. недопустимы отрицательные значения плотности нейтронов. Тогда для подкритической системы ос0 < 0, для критической а0 = 0 и для надкритической а0 > 0. Таким образом, проблема критичности сводится к задаче определения знака а0.
Ниже будет показано, что собственные значения ос/, и особенно а0, играют большую роль в теории реакторов. В дальнейшем они будут называться «собственными значениями интенсивности размножения», «постоянными спада» или «собственными значениями периода» (см. гл. 10), а а0 — «полной интенсивностью размножения».
1.5.2. СПЕКТР ОПЕРАТОРА ПЕРЕНОСА И КРИТИЧНОСТЬ
Полученный ранее результат может быть найден и более точным, хотя и далеким от совершенства способом с помощью преобразования Лапласа по времени уравнения (1.42). Пусть
CO
A^0 = ^ exp (— (xt) N (г, Й, Е, t)dt\ о
F (г, Q, E) = N (г, й, Е, 0),
где F — начальное условие для N. Величина Na — функция комплексной переменной ос—существует, если действительная часть а, т. е. Re а, достаточно велика [16]. Поэтому для достаточно больших Re ос
CO
Г — exp (—at) dt — — F + OcAr0.
J dt о
Так как оператор L не зависит от времени, преобразование Лапласа уравнения (1.42) есть
((X-L)Na = F. (1.43)
23
Если бы разность а — L была комплексной функцией, уравнение (1.43) можно было бы решить относительно Na-
Na =
а — L
а затем попытаться найти N. Однако, так как а— L—оператор, необходимо рассмотреть обратный (так называемый резольвентный) оператор (a L)-1 и написать
Na = (a—L)" iF. (1-44)
При анализе свойств резольвентного оператора возникают определенные трудности [17]. Тем не менее, применяя совершенно формально [18] обратное преобразование Лапласа к уравнению (1.43), можно получить
6 + і OO
N (г, Qt Et t) = f (а—L)- 1F ехр (а/) da, (1.45)
2яі J
Ь — І оо
где b — любая действительная константа, лежащая справа от всех особых точек подынтегрального выражения. Другими словами, Ъ больше Rea в любой особой точке подынтегрального выражения.
Imd.
Пербоначальный путь интегрирование RecL
Контур интегриробания I
Рис. ].]3. Контур интегрирования при обратном преобразовании Лапласа.
Предположим, что подынтегральное выражение имеет только несколько полюсов а}, обозначенных крестиками на рис. 1.13 (/ = О, 1, 2, ...). Тогда контур интегрирования может быть замкнут (пунктирные прямые); вклад каждого полюса пропорционален ехр (ajt) и
6 + І OO
J [ ]c!a = J[ ] da = 2Я І X сумму вычетов во всех полюсах,
Ь — і оо С '
гд С обозначает замкнутый контур интегрирования. Далее делается предположение, что интеграл по пунктирной части контура равен нулю. Тогда можно ожидать [19], что решение уравнения (1.45) будет
N(TyQtEJ) = S ехр (a^ t)g} (г, Qt Е). (1.46)
/ = о
Следовательно, для больших времен решение определяется тем слагаемым, у которого наибольшее значение Rea,. Это значение может быть названо а„ в предположении, что значения a j расположены так, что Re аRe а;+1. Значит, чтобы изучить асимптотическое поведение решения нестационарного уравне-
34
ния переноса, необходимо рассмотреть особенности оператора (ос—L)-1. Такие особенности имеют место в тех точках, где (ос— L) N0,. = 0. Поэтому
LNa. = а} Naj, (1-47)
так что а; есть собственные значения, соответствующие собственным функциям
