Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Naj- Ta собственная функция Arcto, которая соответствует собственному значению а0, будет, по-видимому, определять решение при больших временах. Таким образом,
N (г, Й, E,t) = A exp (а01) Naa (г, Й, Е) при/->оо, (1-48)
где А — константа, характеризуемая начальным распределением. Различие
между подкритической и надкритической системами могло бы тогда определяться знаком ос0 в предположении, что ос0 действительно. В этом случае задача определения критичности сводится к определению условий (радиус, состав и т. п.), при которых OC0 = 0.
Предшествующие предположения в’значительной мере подтверждены тщательным математическим анализом [20]. Ho помимо чисто математических трудностей существует несколько проблем, нуждающихся, по крайней мере, в обсуждении. Они связаны с рассмотрением возможных собственных значений уравнения (1.47), называемых спектром оператора переноса L. И тогда могут возникнуть следующие ситуации.
1. He существует дискретных собственных значений о-j, а следовательно, нет и а0.
2. Число дискретных собственных значений может быть бесконечным, так что возникают проблемы, касающиеся сходимости ряда (1.46).
3. Существует непрерывный ряд а в левой полуплоскости рис. 1.13, где Re а<0 (непрерывный спектр оператора L), для которых уравнение (1.47) может быть удовлетворено в ограниченном смысле. На самом деле а в непрерывном спектре не является соответствующим собственным значением уравнения (1.47). Оно связано с вырожденной собственной функцией, определенной как предел ряда невырожденных функций, которые сами не являются собственными функциями в полном смысле. В этом случае, однако, пропадает возможность распространить контур интегрирования на рис. 1.13 на область непрерывного спектра.
В случае 3 контур интегрирования деформируется влево до тех пор, пока не достигнет непрерывного спектра. Решение уравнения (1.45) тогда есть ряд (1.47) плюс дополнительный член от левой части контура, описывающий вклад непрерывной части спектра.
Все три описанные выше ситуации были рассмотрены при. исследовании специальных случаев уравнения переноса.
1.5.3. РЕЗУЛЬТАТЫ СТРОГОГО АНАЛИЗА УСЛОВИЯ КРИТИЧНОСТИ
‘^Первая попытка обстоятельного рассмотрения оператора переноса связана с односкоростной задачей при изотропном рассеянии для бесконечной пластины без отражателя [21]. Первоначально предполагалось, по аналогии с другими проблемами математической физики, что существует бесконечный набор дискретных собственных значений уравнения (1.47) и что соответствующие собственные функции образуют полную систему. Точное решение уравнения (1.45) дало, однако, конечный (ненулевой) набор действительных собственных значений, для которых a.j > —ov и, кроме того, непрерывный спектр для всех а.] < —ov (как в третьей ситуации из рассмотренных в предыдущем разделе). Вклад непрерывного спектра спадает, однако не медленнее, чем exp (—ovt). Так как всегда существует одно или несколько дискретных собственных значений, асимптотическое решение при больших временах будет
35
определяться дискретными собственными значениями, и критичность опять-таки имеет место при а0 = 0. Подобные выводы сделаны для пластины в многогрупповом случае (см. разд. 1.6.4) 1221.
Возможное физическое объяснение наличия непрерывного спектра оператора переноса следующее [231: нейтроны, перемещающиеся строго параллельно граничным поверхностям пластины, могут улететь как угодно далеко без столкновений с ядрами, не покидая пределов пластины. Плотность нейтронов, перемещающихся строго параллельно границам, будет убывать как exp (—ovt), т. е. так же, как вклад непрерывного спектра. Подтверждается это тем, что оператор переноса в случае односкоростной задачи для сферы без отражателя не имеет непрерывного спектра, а только конечное число действительных дискретных собственных значений [24].
Проводился также анализ уравнения переноса для конечной (ограниченной) геометрии с учетом энергетической зависимости [25]. В предположении, что скорость нейтрона не может быть равна нулю и ядро рассеяния интегрируемо и ограничено, было найдено, что при больших временах решение уравнения переноса определяется дискретными собственными значениями. Асимптотически решение уравнения переноса пропорционально ехр (а0^), так что в этом достаточно общем случае критическая система есть такая, для которой а0 = 0. При некоторых условиях на ядро рассеяния, которые практически всегда выполняются для систем, содержащих делящиеся изотопы, существует по крайней мере одно дискретное собственное значение, т. е. а0. Хотя этот результат не был подтвержден в общем случае, разумно предположить, что всегда существует действительное а0 и что Artto не отрицательно.
Выше предполагалось, что скорость нейтрона отлична от нуля. Если эго допущение не выполняется, то для некоторых упрощенных вариантов ядра рассеяния, встречающихся в теории термализации, было найдено, что существует только конечное число дискретных действительных собственных значений плюс непрерывный спектр для всех а с существенно отрицательными действительными частями [26]. Кроме того, для достаточно малых систем не существует дискретных собственных значений [27]. Ho все эти выводы, относящиеся к случаю, когда скорость нейтрона может быть равна нулю, практически не имеют отношения к проблеме критичности. Как отмечено в разд. 1.1.2, уравнение переноса не имеет смысла для нейтронов достаточно малой энергии (большие X). Кроме того, системы, которые так малы, что не имеют дискретных собственных значений, заведомо подкритичны; для больших систем а0 существует.
