Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 — а (г, E)vAt.
Поэтому число нейтронов, остающихся в пакете, равно
N (г, Й, Е, t)[\ — о (г, Е) VAtldVdQdE.
Эти нейтроны в момент времени t + At достигнут точки г + QvAt.
Помимо того, что нейтроны могут покидать пакет в результате столкновений, изменение числа нейтронов в нем может происходить за счет появления нейтронов из других пакетов и за счет независимых источников. Число нейтронов, попадающих в пакет в результате столкновений, есть
[jj а (г, ?')/(г; Й', ?'-> Й, E)v'N( г, Й\ ?', t)dQ' dE'^dV dQdE At,
а за счет источников —
Q (г, Q, Е, t) dVdQdE At.
Плотность нейтронов в точке г -I- QvAt в момент t + At получается сложением трех последних выражений после их деления на dVdQdE:
N (г + ЙиД/, Й, E,t -J- At) = N (г, Й, Е, t) (I — ovAt) +
+ [Jjj с'/о'JV (г, Й\ E', t)dQ’ dE'^At + QAt, (1.9)
где для упрощения о ^ о (г, Е); o'f = о (г, E')f (г; Q',E' -*¦ й, Е) часто обозначается of (г; Й', ?' ->- Й, ?); Q = Q (г, Й, Е, t).
Разделив обе части уравнения (1.9) на At и устремив At к нулю, получим:
Iim Г*! (г+а-А'. а. е. t+v)-N (г. а. в, 01 + отЛ, ([% а ?> <) =
, д/~о L At J
= jja'fv'N(r, Q', E', t)dQ'dE’ + Q. (1.10)
Первое слагаемое в левой части уравнения (1.10) есть полная произзодная плотности нейтронов по времени, т. е. производная по времени, которую получил бы наблюдатель, движущийся вместе с пакетом нейтронов. Она обозначается dN/dt, где N = N (г, Й, ?, t).
14
Если в числителе выражения, стоящего в прямоугольных скобках ,'см. (1.10) J, прибавить и вычесть N (г, й, Е, I + At), получаются два выражения, имеющие вполне определенный смысл. А именно,
Iim Г
Af--OL
Njг, Й, Е, t + At)—N (г. Й, E1 t) At
1 — ЛК. ¦ J dt •
Iim
Д/-0
N (г + ЙиД/, Й, Е, t +At) —N (г, Si, Е, t + At) 1_______
At
]-
oQ ¦ VN (г, Й, Е, t). (1.12)
Последнее равенство можно легко получить в декартовой системе координат, где компонентами г являются х, у, г, а Й — Qx, Qz. Левую часть уравнения
(1.12) тогда можно записать:
Iim Г
Д/-.0 L
N (х +? vAt, у + Sly у At, z +QzuA<,...) — N (х, у, г, ...)
At
n ® , (^dNl 0 dN
-сах—,
где N = N (х, у, г, ...). Это выражение есть не что иное, как умноженная на о производная N в направлении Й. Следовательно, ее можно представить в виде УЙ • VN, как это и сделано в уравнении (1.12).
Подстановка выражений (1.11) и (1.12) в уравнение (1.10) дает '
dNldt + ой • VN + ovN = o' /о' N'dQ' dE' + Q,
(1.13)
где
N = N (г, Й, Е, t), N' =N (г, Й', E, /),а о, а'/ и Q введены выше.
Уравнение (1.13) есть основная форма уравнения переноса нейтронов. Несмотря на некоторые незначительные ограничения, которые упомянуты ранее и рассмотрены более обстоятельно в разд. 1.4, уравнение переноса оказалось вполне удовлетворительным для решения большинства проблем реакторной физики.
Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, полезно осознать физический смысл двух слагаемых в левой части уравнения (1.13), которые вместе равны первому слагаемому в левой части уравнения (1.10). Выражение dNldt есть скорость изменения со временем плотности нейтронов в данной точке г. Оно отличается от dNldt — скорости изменения плотности нейтронов внутри пакета, который движется со скоростью V = ой. Разность между ними —оQ-VN представляет собой скорость изменения плотности нейтронов в точке г из-за утечки нейтронов, т. е. движения нейтронов по прямой линии без столкновений. Скорость изменения плотности нейтронов, без вклада утечки, вычисленная наблюдателем, движущимся вместе с пакетом нейтронов, есть dNldt, в то время как неподвижный наблюдатель в точке г получит значение dNldt, которое будет включать вклад утечки нейтронов. Таким образом, слагаемое ой • VN в уравнении переноса учитывает утечку нейтронов.
То, что это слагаемое действительно описывает влияние утечки, можно убедиться, рассматривая поведение нейтронов в малом объеме. Пусть этот объем ограничен плоскостями, пересекающими оси координат в точках х, х + Ах; у, у + Ay и г, z + Az, так что объем dV = AxAyAz (рис. 1.5). Число нейтронов в этом объеме, движущихся в направлении Й, есть N (х, у, г, Й, Е, t) dV. Число нейтронов, пересекающих поверхность объема через плоскости, перпендикулярные оси х, равно vxN (x,y,z) AyAz, а для плоскостей, имеющих с осью х
Рис. 1.5. К вычислению члена утечки.
15
общие точки X и X + Axt равно vxN (х + Axt у, z) AyAz. Здесь Vx — х-я компонента скорости; аргументы (Й, Et t) опущены для краткости. Разность между этими двумя выражениями определяет х-ю компоненту утечки нейтронов, т. е. изменение потока нейтронов в dV при пересечении нейтронами двух плоскостей, для которых X постоянно. Таким образом, утечки в направлении оси х
-VxELdV= — (V-ViV)x dV. дх
Скорость, с которой нейтроны покидают рассматриваемый объем, есть —v-V/V на единицу объема. Эта величина равна —vQ-VN. Следовательно,
dN dN ct Xi м
— vQ'VN.
dt dt
Предшествующее рассмотрение может быть несколько видоизменено [6]. Рассматривается малый неподвижный объем вблизи точки г. Тогда изменение плотности нейтронов в объеме происходит как в результате столкновений, так и из-за перемещений нейтронов. Уравнение переноса получается суммированием составляющих. Оно может быть записано и через поток нейтронов Ф, который равен vN. С обозначениями
