Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф = vN = Ф (г, Й, Et /); ф' = v'N' = Ф (г, Й\ E't t)
оно принимает вид
— — + а»УФ + оФ = [[о'ІЇФ' dQf dE' + Q. (1.14)
V dt JJ
Эта форма уравнения переноса будет часто использоваться в последующих главах.
1.1.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Условия на поверхности раздела. При выводе уравнения переноса постулировалось, что сечения взаимодействия являются непрерывными функциями координат в окрестностях точки г. Однако решения уравнения переноса часто приходится находить в ограниченных примыкающих областях, где существуют поверхности раздела между средами с различным составом. На таких поверхностях сечения претерпевают разрыв, и поэтому необходимо научиться использовать уравнение переноса в таких условиях.
Важно иметь в виду, что число нейтронов в пакете никоим образом не меняется при пересечении физической поверхности раздела. Это означает, что плотность нейтронов должна быть непрерывной по г при пересечении поверхности раздела, или, более формально, N (г + s Й, й, Е, t + s/v) должно быть непрерывной функцией s, где s — расстояние в направлении Й. Поэтому считается, что уравнение переноса применимо по обе стороны от поверхности раздела, а на самой поверхности должно выполняться условие непрерывности [7]*.
Приведенное выше условие непрерывности можно также получить и при выводе уравнения переноса. Для этого надо рассмотреть уравнение (1.10), когда гиг+ QvAt лежат по разные стороны поверхности раздела, проходящей через точку rs. Пусть
r = rs —БЙ и г + QvAt = rs + БЙ,
* Хотя в этом разделе рассматриваются граничные условия для плотности нейтронов, полученные здесь результаты в одинаковой мере применимы И ДЛЯ ПОЛНОЙ ПЛОТНОСТИ, ЧТО. будет многократно использоваться в дальнейшем.
16
где s — расстояние вдоль Q между точками по обе стороны от границы раздела (рис. 1.6). Тогда можно найти, что
!!!?[" (г*(r^-Isa'й'Е’ і;
= 0,
что совпадает с условием непрерывности.
Хотя в физических системах плотность нейтронов всегда непрерывна в описанном здесь смысле, иногда удобно считать, что источник нейтронов сконцентрирован на границе (см. разд. 1.1.6). На таком поверхностном источнике плотность нейтронов испытывает разрыв, величина которого может быть определена (как показано в следующей главе). Подобным же образом иногда желательно представить тонкий сильно поглощающий слой как поверхность, на которой имеет место разрыв плотностн нейтронов.
Граничные условия свободной поверхности. Обычно считается, что уравнение переноса описывает перенос нейтронов в некотором конечном объеме, где сечения являются известной функцией координат и энергии.
Такое уравнение имеет бесконечное число возможных решений в каждой ограниченной области, и для того, чтобы определить, какое из них отвечает поставленной задаче, надлежит установить соответствующие граничные условия для плотности нейтронов на внешних границах рассматриваемой системы*.
Как правило, рассматриваемая система окружена выпуклой поверхностью, т. е. отрезок прямой, соединяющий любые две точки системы, целиком лежит внутри этой поверхности. Нейтрон, вылетающий с поверхности такой системы, не может снова пересечь ее.
Если физическая поверхность не выпуклая, можно предположить, что она окружена выпуклой поверхностью, на которой и выполняются граничные условия. Если нейтроны попадают в систему извне за счет какого-либо внешнего источника, тогда должен быть определен поток входящих нейтронов.
При отсутствии расположенных снаружи источников и условии, что всякий нейтрон, пересекающий поверхность извне, не может вернуться обратно, внешняя поверхность называется свободной. Граничные условия для плотности нейтронов на свободной поверхности определяются следующим образом. Пусть п — единичный вектор в направлении внешней нормали поверхности в точке г на поверхности. Тогда любой нейтрон в точке г с п • Q > 0 будет пересекать поверхность в направлении наружу, в то время как нейтроны сп • Й < 0 — в направлении внутрь. Поэтому требование отсутствия входящих извне в систему нейтронов для всех точек г на поверхности имеет вид
Поверхность
раздела
Рис. 1.6. К выводу условия непрерывности.
если
N (г, G, Е, t) = О,
п-Й< 0.
(1.15)
На самом деле невозможно, конечно, целиком изолировать систему от ее окружения. Нейтрон, покидающий систему, всегда будет иметь отличную от
* Кроме того, некоторые условия на плотность нейтронов или источник нейтронов и сечения могут потребоваться при высоких энергиях [8J. Обычно считается, что энергия нейтронов может лежать в пределах от 0 до ?Макс- Нейтроны с E > ?маке не рассматриваются, а если они все-таки єсть, то их наличие учитывается путем увеличения источников Q за счет тех нейтронов с E < Emакс, которые могут появиться благодаря нейтронам с E > ?макс- Кроме того, для решения уравнения переноса требуются начальные условия для плотности нейтронов (см. разд. 1.5.1).
17
нуля вероятность вернуться обратно, и поэтому условие свободной поверхности является некоей идеализацией. Тем не менее это приближение очень полезно, потому что: а) для многих систем вероятность возвращения нейтрона пренебрежимо мала; б) всегда можно выбрать фиктивную свободную поверхность, достаточно удаленную от представляющего интерес объема. Например, ошибка в определении критичности при выполнении условий свободной поверхности на внешней стороне биологической защиты реактора или даже отражателя, как правило, пренебрежимо мала.
