Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф(г, Й, ?) = $$$ Q(г0, Й0, E0)G(r0> Q0, E0-+ г, Q,E)dV0dQ0dE0. (1.21)
Как уже отмечалось, Q может быть либо объемным источником в задаче со свободной внешней поверхностью, либо поверхностным источником, выбранным таким образом, чтобы воспроизвести поток приходящих извне нейтронов, а также какой-либо комбинацией обоих. Величину соответствующего поверхностного источника, обозначаемого Qs (г, Й, Е), можно найти, если известен поток падающих извне на внешнюю поверхность нейтронов Фвх (г, Й, Е) на единичный интервал энергии в единичном телесном угле. Число нейтронов, пересекающих элемент поверхности dA с внешней нормалью п, равно —п-ЙФвх(г, Й, E)dA. Знак минус введен потому, что п направлен наружу, а Й внутрь, т. е. п ¦ й < 0. Таким образом, этот поток падающих нейтронов может быть заменен поверхностным источником
QsirJ G, E)= — гі-ЙФвх(г, Й, Е). (1.22)
Тот факт, что функция Грина была введена для стационарной задачи, не играет особой роли. Временная зависимость функции Грина
G (г0, Й0, E0, *о -> г, Й, Е, t)
может быть учтена просто добавлением производной по времени в левой части уравнения (1.20) и множителя 6(2 — ^0) в произведение 6-функций, представляющих точечный источник. Некоторые специальные формы функции Грина, а также соотношения между различными функциями Грина получены далее в этой книге.
1.2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
1.2.1. ВВЕДЕНИЕ
Уравнение переноса нейтронов представляет собой инте-гро-дифференциальное уравнение для плотности (или потока) нейтронов. В этом разделе выведено эквивалентное интегральное уравнение. Возникает вопрос, существует ли эквивалентное чисто дифференциальное уравнение для описания переноса нейтронов. Ответ на этот вопрос отрицателен по следующим причинам. При выводе уравнения переноса было необходимо рассмотреть плотность нейтронов только в непосредственной (пространственно-вре-менпбй) окрестности каждой данной точки, в то время как весь диапазон энергий и углов должен быть включен в уравнение переноса при рассмотрении плотности при данных энергиях и углах. Поэтому в уравнении переноса по пространству и времени зависимость локальна и выражается с помощью производных, а по энергии и углу — интегральна.
Физическая основа изложенного выше такова: в результате столкновения нейтрона связанные с ним время и координаты меняются непрерывно, а энергия н угол — скачкообразно. Поэтому математическая формулировка задачи переноса нейтронов должна содержать интегралы по энергии и углу. Для многогруппового представления уравнения переноса (см. гл. 4 и 5) эти интегралы заменяются суммами.
20
1.2.2. ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Так как уравнение переноса представляет собой линейное интегро-дифференциальное уравнение, причем входящие в него частные производные — первого порядка, оно может быть преобразовано в интегральное стандартным методом, известным под названием метода характеристик [9].
Для применения метода характеристик к уравнению переноса последнее [в форме уравнения (1.14)] удобно переписать в виде
— ^-Ф(г, G1 Е, *) + Й-УФ + аФ = <7(г, Q, Е, t),
V at
(1.23)
где
q (г, Qf ?, /) = $ $ а (г, E') f (г; Q', E' — Q, Е) Ф (г, Q' ?', /) dQ' dE' +
+ Q (г, Q, E,t). (1.24)
Таким образом, десть полная скорость появления нейтронов в точке г, Q, Е, t из-за столкновений и внешних источников Q.
Первые два слагаемых уравнения (1.23) могут быть записаны в декартовых координатах:
f-—+ Qx-+Qy-+Qz-)ф.
\ V dt Хдх Уду dz J
Введем полную производную, которая определяется как
___ <?Ф dt ^ <?Ф dx ^ <?Ф dy дФ dz
ds dt ds дх ds ду ds dz ds ’
Нетрудно видеть, что
dt I s
— = — , решение t = t0 Ч— ; ds V V
= Qx, решение X = X0 + sQx -^J = Qy, решение y = y0 + sQy = Q2, решение z = z0 + SQ2
г = r0 + Sft1
где t0, х0, г/0, Z0 — произвольные константы. Поэтому уравнение переноса может быть переписано таким образом:
Ф (Го+ s^. Е, t0 + s/и) + сФ = <7 (r0 + sQ, Q, Е, t0 + s/v). (1.25)
Кривые r(s) и t(s) называются характеристическими кривыми дифференциального уравнения и для каждого г0 и t0 при фиксированных значениях Q и E существует единственная кривая, проходящая через данную точку. Производная в уравнении (1.25) есть производная вдоль характеристической кривой, и она, очевидно, отличается множителем Ilv от полной производной по времени dNldt, входившей первоначально в уравнение переноса. Как и прежде, s — расстояние вдоль направления перемещения нейтрона Q. На самом деле уравнение
(1.25) совпадает, за исключением обозначений, с уравнением (1.10).
Уравнение (1.25) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть проинтегрировано с помощью
21
интегрирующего множителя. При введении этого множителя уравнение (1.25) принимает вид:
Выражение (1.26) далее интегрируется от S= —оо, так что область интегрирования включает все предшествующие времена до данного. Предполагается, что
Это верно, например, если задолго до рассматриваемого времени в системе не было нейтронов. Тогда левая часть уравнения (1.26) есть
