Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая описанный процесс из системы отсчета, движущейся вправо со скоростью и/2, мы увидим, как тело массой Зот, движущееся влево со скоростью и/2, распалось на тело массой 2т, которое остановилось, и на тело массой от, движущееся влево со скоростью 3/2и. Нетрудно заметить, что импульс системы тел при таком распаде остался неизменным
„ v Зи
Зт— = т— + 2от0.
2 2
Рассматривая распад и столкновение тел в несколько этапов, можно всегда приходить к закону сохранения импульса. Так, столкновение m и Зт можно рассмотреть сначала как столкновение т+т=2т, а затем столк-
Зт
и=0
т -у т т Л и=0
т I т-Ьт=Ъп
u=vu
Рис. 4. Распад покоящегося
тела Зт на тела т +2т.
34
СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА
т Зт
—
т +т =2т I т +т =2т u=v/2 I и=0
2т+2т=4т
u-v/4
новение 2т+2т (рис.5). Если рассмотрение проводится из системы отсчета, в которой тело 3т покоилось до удара, а тело 3т двигалось со скоростью v, то в результате рассматриваемой последовательности соударений тело 4т получит скорость и/4 и будет двигаться в ту же сторону, в которую двигалось налетающее тело, т.е. опять выполняется закон сохранения
Рис.5. Неупругое соударение „ . . V
тела тс телом Зт. импульса mv + 3m О = 4т -.
Проявив достаточную изобретательность в разложении некоторого взаимодействия на последовательные взаимодействия тел одинаковых масс, можно из принципа относительности и предположений об однородности пространства придти к выводу о сохранении импульса взаимодействующих тел.
Движение ракеты
Закон сохранения импульса позволяет проанализировать движение ракеты. Ракета - тело переменной массы, т.к. часть ее массы постоянно выбрасывается в виде продуктов сгорания. Пусть ракета массой т, выбросив массу газов Дтг со скоростью и относительно ракеты, увеличивает свою скорость на Ди. Сохранение импульса приводит к уравнению тАи- Дтги = 0.
Так как истечение Атг означает изменение массы ракеты на величину Ат=- Дтг, то уравнение движения ракеты имеет вид Ат Ди
mu' (^)
Рассмотрим процесс ускорения ракеты, предполагая, что выброс газов происходит небольшими порциями, всякий раз составляющими 1/п долю массы ракеты в момент выброса, т.е. Ат=-т/п. Тогда после каждого выброса скорость ракеты возрастает на величину Аи=и/п, а масса ее уменьшается в (1-Ш) раз. Спустя некоторое время, в течение которого произошло k таких выбросов, скорость ракеты будет v=ku/n, а масса то( 1-
1 /п)к, где то - стартовая масса ракеты с топливом, пассажирами и последней ступенью. Исключив из полученных соотношений к, можно получить, что к моменту времени, когда скорость ракеты равна v, ее масса будет
Г- (б)
В действительности истечение газов происходит не порциями, а непрерывно, и ракета ускоряется плавно, а не толчками. К этому случаю можно перейти, предположив порцию выбрасываемых газов малой, т.е. совершив в (6) предельный переход при п-*п. Математики доказали, что
lunfl-iYW1, (7)
П—»xl Л )
35
ГЛАВА III
т i то0 о.в
0.6
0.4
0.2
где е=2.71828...- некоторое число, выражающееся бесконечной непериодической десятичной дробью. Из (6) предельным переходом получаем
т = т0е~и/“ (8)
Зависимость т/то от и/и приведена на рис.6. Для достижения ракетной скорости, равной скорости газов, необходимо чтобы масса ракеты на старте превосходила полезную нагрузку в е раз, т.е. в 2,7 раза.
Для достижения 2и необходимо на старте иметь массу ракеты то 7,4 раза большую полезной нагрузки ракеты. При и=3и те=&*20.
Пример. Полезный груз спутника 100 кг. Найти стартовую массу ракеты, если и = 1 км/сек. Так как скорость спутника вблизи поверхности Земли и=8 км/сек, то из (6) m»=100e8=100e3e3e2sl00-20-20-7.4a300 тонн.
Если v = 2 км/сек, то m0=lQQe*=lQQe?e=lOO-2O-2.7z5 4 тонн Из этого примера видно, что совершенствование ракетного топлива, приводящее к удвоению скорости истечения газов, существенно уменьшает стартовый вес ракеты.
0.5 1 1.5 г а.5 зи
Рис 6. Зависимость отношения полезной нагрузки ракеты к стартовой массе от отношения скорости ракеты v к скорости истечения газов и.
36
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
17—>1.117
1. Какую массу топлива нужно выбросить со скоростью Зи относительно ракеты массой М, чтобы ее скорость увеличилась от и до l.lu?
2. Определите отношение масс соударяющихся тел, одно из которых до столкновения покоилось, если после лобового удара они разлетаются с одинаковыми по величине скоростями.
3. Движущееся тело распадается на два осколка с импульсами pi и рг, направленными под углом 9 друг к другу. Определите импульс распавшегося тела.
4. Тело массой М, летящее со скоростью и, распалось на два осколка, массы которых равны т и М-т. Скорость тела массой т равна и и направлена перпендикулярно скорости и. Чему равна скорость второго тела?
5. На гладком полу стоит сосуд, часть объема которого величиной Vo заполнена водой с плотностью ро. На дне находится жук, тело которого сделано из материала с плотностью р и занимает объем V. С какой скоростью будет двигаться сосуд, если жук начнет бежать по дну со скоростью и относительно сосуда? Массой сосуда пренебречь.
6. Человек находится на конце доски, лежащей на абсолютно гладком льду. Под каким углом он должен прыгнуть, чтобы попасть на другой конец доски. Масса прыгуна М, его скорость при прыжке с места на грунте v, масса доски от, длина I. Во сколько раз изменится дальность прыжка по сравнению с прыжком с места на грунте?
