Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
3. Из закона сохранения импульса для системы тел следует
Здесь fj - сила, действующая на i-тое тело со стороны всех остальных тел.
Полную систему всех взаимодействующих тел будем называть замкнутой. Силы, действующие между телами, входящими в рассматриваемую систему, назовем внутренними. Соотношение (5) выражает закон равенства нулю суммы внутренних сил замкнутой системы.
4. Применение закона о сумме внутренних сил к системе из трех тел дает ^1(2+3) + f2(l+3) + f3(l+2) =0, где fi(2+3)‘ сила> действующая на первое тело со стороны второго и третьего тел, и т.д. Безусловно, сила fi(2+3) определяется силами f12 и f13 попарного взаимодействия первого тела со вторым и третьим. Но как? Заранее это неизвестно. Эксперимент показывает, что взаимодействие двух тел не зависит от наличия третьего ( во всяком случае при не чересчур сильных взаимодействиях) и
fl(2+3) =f12 +fl3> (6)
Это свойство выражает очень важный закон силового взаимодействия, называемый принципом суперпозиции сил.
Справедливость принципа суперпозиции приводит к тому, что взаимодействие любого тела с другими телами можно представить как геометрическую сумму сил по парного взаимодействия, каждая из которых не зависит от того, взаимодействует ли рассматриваемое тело только с одним телом или сразу с большим количеством тел. Закон равенства действия и
(5)
40
ГЛАВА IV
противодействия приводит при этом сразу к равенству нулю суммы внутренних сил любой системы тел. Покажем это на примере взаимодействия трех тел
*1(2+3) + *2(1+3) + *3(1+2) = *12 + *13 + *21 + *23 + *31 + *32 =
= (f12 + f2l) + (fl3 + *3l) + (*23 + *32) = 0
Внешние силы. Движение системы тел
Рассматривать только замкнутые системы оказывается не всегда возможным, т.к. количество взаимодействующих тел может быть столь большим, что практически нельзя учесть все возможные взаимодействия. В этом случае рассматривается только часть замкнутой системы, а взаимодействие рассматриваемых тел с остальными телами, не входящими в систему, характеризуется внешней силой F,, приложенной к i- тому телу. Уравнение движения любого тела в этом случае следует записать в виде
dPi - f + F-
¦dT"fi + Fl- (7)
Здесь f; - внутренняя сила, действующая на i-тое тело со стороны всех тел, входящих в рассматриваемую систему. Сложив все п уравнений системы (7), получаем
+ (8) at . . .
n n
Но = P - полному импульсу системы тел, а = 0 в силу равенства
i i
действия и противодействия и принципа суперпозиции. Сумму внешних п
сил ^Fj обозначим F и будем называть равнодействующей внешних сил.
i
Теперь (8) запишется в виде
fP = F’ (9)
Таким образом, полный импульс системы тел определяется только равнодействующей внешних сил, а уравнение (9), описывающее это изменение, эквивалентно основному закону динамики для одного тела (2). Нетрудно видеть, что если равнодействующая внешних сил равна нулю, то полный импульс незамкнутой системы постоянен, т.е. в таком случае незамкнутая система ведет себя в смысле сохранения импульса как замкнутая.
Центр масс. Движение центра масс под действием внешних сил
Пусть положение массы mi в некоторый момент времени описывается радиусом-вектором г,, а положение тг радиусом-вектором гг. Назовем центром масс системы mi и тг точку т 1Г1 +т-> Го
Г = ~Ш] + т.2 (Ю)
Скорость центра масс
41
ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
v _ r _ mlrl +m2r2 _ mlvl +^2V2 P
rtii+mi m.\+mi M (H)
Здесь P- импульс системы тел, M - сумма всех входящих в нее масс. Обобщение формул (10) и (11) на случай п масс приводит к п
г=—!----------------------------------------------------------. (12)
Ът1
П
2Xvi _
v = -j----- * (13)
п М
2>,
i
Введение центра масс позволяет переписать закон движения системы тел под действием внешних сил (9) в виде , „ dv
dT (14)
Это уравнение по форме совпадает с уравнением движения одной массы М под действием силы F. Таким образом, действие внешних сил на систему тел сводится к тому, что центр масс системы движется как материальная точка массы М, на которую действует равнодействующая внешних сил. Этот результат называется теоремой о движении центра масс.
Рассмотрим один пример. Снаряд, вылетевший из ствола орудия, разорвался на большое количество осколков, каждый из которых полетел по своей траектории и где-то упал на землю. Оказывается, что как бы ни летели осколки , какими бы они ни были, их центр масс упадет на землю именно в ту точку, куда упал бы неразорвавшийся снаряд.
Если равнодействующая внешних сил равна нулю, то из (14) следует, что центр масс системы будет двигаться без ускорения, т.е. как материальная точка по инерции. В частности, если система тел первоначально находилась в покое, центр масс ее под действием внутренних сил не может никуда переместиться из своего начального положения, хотя части системы могут совершать как угодно сложные движения. Так, при разгоне ракеты из покоя газы улетят с разной скоростью на разных участках траектории, сама ракета будет непрерывно увеличивать свою скорость и удаляться как угодно далеко от места старта, но в любой момент времени центр масс газов и ракеты будет оставаться в точке старта, если на ракету не действуют внешние силы.
