Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
п п
lAsj = ZviAti. i=l i-i
Геометрически As - площадь фигуры, ограниченной ломаным графиком скорости, осью времени, осью скорости и ординатой в конечный момент времени. При неограниченном увеличении числа звеньев ломаного графика скорости и одновременном уменьшении длины самого большого звена ломаный график скорости как угодно близко подойдет к истинному графику скорости, и сумма (9) будет стремиться к пределу, равному площади криволинейной фигуры, ограниченной графиком скорости, осью абсцисс и ординатами начала и конца движения. Этот предел называют определенным интегралом и обозначают
п П t
As - lim = lim =jv(t)dt. (10)
0
no известной зависимости скорости от времени.
As ¦¦
Так как As=s-so, где so t
s = s0 + ju(t)dt.
o
начальное положение тела, то
01)
18
ДВИЖЕНИЕ
В случае движения не по прямой линии задание вектора скорости означает, что известны ее декартовы составляющие. Вычисляя перемещение тела вдоль осей координат, нетрудно получить:
‘ ‘ * (12)
х = xq + I ux(t)dt; у = + I vy z = zq + I vz(t)dt,
0 0 0
или
(13)
r = ro + jv(t)dt. о
Тем самым определено положение тела в любой момент времени, и поставленная задача решена до конца. Исключив время из уравнений (12), т.е. выразив, допустим, из первого из них время ? как функцию х и подставляя в два остальных, получим в явном виде уравнение траектории {у = у(х), z = г(х)}.
Ускорение
Скорость тела, вообще говоря, изменяется во времени. Это изменение характеризует вектор ускорения dv
d2 г
dt dt2 ~ ’
Компоненты вектора ускорения в декартовых координатах
dvx
dt
d2x
dt2
dvv
i x: av
d2y
dt dt2
dv.
d2z
dt dt2
(14)
(15)
Вектор ускорения не совпадает по направлению с вектором скорости, т.к. приращение скорости Av, вообще, не параллельно самой скорости v. Удобно разлагать вектор ускорения на две составляющие: аг - вдоль вектора скорости и ап - по нормали к скорости. Так как скорость v направлена по касательной к траектории, то ar - составляющая ускорения вдоль траектории, а» - по нормали к траектории.
Для уяснения смысла касательной (тангенциальной) составляющей ускорения вычислим изменение величины скорости, происшедшее за малый интервал времени Дt. Легко видеть, что скорость получит приращения: a?t вдоль траектории и апД? в нормальном направлении (рис.9). За рассматриваемый интервал времени величина скорости изменится на
Рис.9. Нормальное и тангенциальное ускорения и создаваемые ими приращения скорости
Ди
- -j{v + а, Дг)
2+(а„Д?)2
1 + 2а1Д? + аЦа^(дг)2_1
V
и
(16)
У
Пренебрегая при достаточно малых At квадратичными членами под корнем и записывая с той же степенью точности Jl + 2ax Дt/и * 1 + at M/v
19
ГЛАВА II
(это равенство легко проверить взведением в квадрат правой и левой частей его), получаем Ди « axAt. В пределе при Д?-*0 Ди dv
а = lim — = —, —
дt dt (17)
т.е. тангенциальная компонента ускорения описывает изменение только величины скорости.
Отношение anAt к v + axAt определяет изменение направления скорости. Если Да - угол, на который повернулся вектор скорости за время At, то
, /. ч Ои ДЬ
tg(Aa) =..п—
и + ахАt
При малых Да tg(Aа)«Да и слагаемым aAt в знаменателе можно пренебречь по сравнению с и. Тогда
а„А? Да
Да® ——иа„«и—.
и п At (ls)
Построив перпендикуляры к векторам скорости в двух соседних точках траектории А и В, получим, что они пересекутся в какой-то точке О, причем, угол АОВ оказывается равным углу поворота вектора скорости при переходе из точки А траектории в точку В (рис. 10). Если Д? - малая величина, то OB«OA=>R, Aa~AB/R*vAt/R и в пределе при Дг-»0 (19) переходит в кривизны траектории. точное равенство
_и2 °п R
(19)
Величину R называют радиусом кривизны траектории в точке А Таким образом, нормальная компонента ускорения описывает изменение направления скорости (18) и зависит от радиуса кривизны траектории и величины скорости.
Движение с постоянным ускорением
Рассмотрим два частных случая движения с постоянным ускорением.
1. Пусть при движении и скорость и ускорение постоянны по величине. Такое движение возможно лишь в случае, когда ускорение перпендикулярно скорости. Из (19) следует, что в таком случае радиус кривизны траектории постоянен, т.е. движение происходит по окружности. Это довольно распространенный случай движения.
2. Рассмотрим движение тела из начального положения с начальной скоростью v0 под действием постоянного ускорения g.
Введем декартову систему координат на плоскости, проходящей через вектора v0 и g, выбрав в качестве направления оси OYнаправление, противоположное направлению g, и поместив начало системы координат в точку, из которой начало двигаться тело. В этой системе отсчета движение по оси ОХ (в дальнейшем будем называть его движением по горизонтали)
20
ДВИЖЕНИЕ
Рис.11. Зависимость компонент скорости тела, брошенного под углом к горизонту, от времени.
происходит без ускорения, т.е. горизонтальная составляющая скорости и*
постоянна и равна своему начальному значению vx=vocosa, где а - начальное значение угла наклона вектора скорости к горизонту. Движение по оси 0Y происходит с постоянным ускорением -g и скорость по вертикали в любой момент времени
