Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
иу =UyQ-gt = U()Cosa-gt. Графики компонент скорости и* и vy изображены на рис. 11. Вычисляя площадь фигур под этими графиками, можно получить координаты тела в любой момент времени
gt2
x = u0t cosa; y = u0tsma——. (20)
Исключив из первого уравнения время и подставляя во второе, получим уравнение траектории
2ujjcos2a Это уравнение параболы.
Найдем точки пересечения траектории с горизонтальной осью. Для этого надо в (21) положить у=0 и найти решения полученного уравнения
у = xtana
tga-
2vq cos a
2un sm a cos a vf, . „
x, = 0; x, =-------------------------= — sin 2a .
g g
(22)
Рис.12. Траектории тел, брошенных под углом к горизонту, для углов вылета {15°, 30“, 45°, 60°, 75°}
21
ГЛАВА 11
-sma. (24)
Нетрудно видеть, что xi - начальная точка траектории, хг - точка падения тела на горизонтальную плоскость. Дальность полета тела, брошенного со скоростью vo под углом а к горизонту
и2
L = ~ sin2a. (23)
Максимальная дальность полета при заданной начальной скорости достигается при 2а=к/2, т.е. при бросании под углом к/4=45° к горизонту. При движении по траектории горизонтальная составляющая скорости остается постоянной, а вертикальная убывает до нуля, а затем меняет знак, т.е. тело сначала подымается, а потом падает вниз. Максимальной высоты тело достигает в момент времени, когда иу=0, т.е. спустя время
хЛ g
от начала движения. Подставляя (24) во второе из уравнений (20), получаем максимальную высоту подъема тела
h. = —sin2a =-^-. (26)
2g 2g
Одновременно по горизонтали тело перемещается на расстояние
IР" L
I = — sina cosa = — sin2a = —. (27)
g 2g 2 * >
т.е. максимальной высоты тело достигает как раз посредине траектории.
Графики траекторий тел, выброшенных под разными углами к горизонту,
приведены на рис. 12.
Так как по горизонтали тело движется с постоянной скоростью, то
время полета
_ L 2u0sina 2vy0
Т =----= -----= —’— = 2т , (27)
vx0 § 8 ( 1
и при падении
vy = vyo -gT = -vq sin a = ~vy0, (28)
т.е. в момент падения скорость тела равна начальному значению скорости, а направление ее симметрично относительно оси ОХ с направлением скорости в начальный момент.
Рассмотренный пример движения с постоянным по величине и направлению ускорением осуществляется при движении тел вблизи поверхности Земли.
Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси
При вращении вокруг оси скорости разных точек тела оказываются различными. Однако, все точки тела поворачиваются на один и тот же угол Дф за промежуток времени Дt, если тело не деформируется при движении. Поэтому удобно рассматривать угловое перемещение Дф вместо линейного перемещения, угловую скорость е?ф
ДВИЖЕНИЕ
вместо скорости, и угловое ускорение
(30)
Если вращающаяся точка находится на расстоянии г от оси и за время At перемещается на Дя^гДф, то нетрудно заметить из рис. 13, что компоненты перемещения рассматриваемой точки по осям координат просто выражаются через расстояние ее от оси и угловое перемещение У
Ах = -As sm <р = -гДф — = -.уДф,
Г
X
Ay = As cos ф = гДф — = яАф, г
точки вокруг оси перпендикулярной
С} 1 пуДо
плоскости рисунка. J
vx = -у<?>, vy = xco. (31)
Ускорение точки вращающегося твердого тела состоит из составляющей ат = гш , касательной к траектории точки, т.е. к окружности радиуса г,
и составляющей ап =v2/r = ш2г, нормальной к траектории, т.е. направленной по радиусу к оси вращения. Компоненты ускорения в декартовых координатах оказываются
ах = -в>у-а2х, ay=dsx~w2y. (^2)
При вращении с постоянной угловой скоростью а = ш = 0 и ах=х = -а>2х, ау=у = -а?у.
В заключение подчеркнем важные для дальнейшего отношения между радиусом-вектором точки, скоростью и ускорением при вращении с постоянной угловой скоростью:
1. Вектор скорости перпендикулярен к радиусу-вектору точки и повернут относительно последнего на я/2 в положительном направлении.
2. Величина вектора скорости равна радиусу-вектору, умноженному на угловую скорость а.
3. Вектор ускорения перпендикулярен к вектору скорости точки и повернут относительно последнего на я/2 в положительном направлении.
4. Величина вектора ускорения равна вектору скорости, умноженному на угловую скорость а, или радиусу-вектору, умноженному на квадрат угловой скорости со знаком минус (~<вг).
Сложение скоростей
Положение тела определяется относительно других тел, которые образуют так называемую систему отсчета. Так, в вагоне поезда можно описать движение тела относительно вагона, установив зависимость положения тела г’ от показаний часов Г в этой системе отсчета. Каким будет это движе-
2
da d (р
а =—- = ш =—-®<р dt dt2
вместо ускорения.
23
ГЛАВА II
ние относительно платформы? Для описания движения в системе отсчета, связанной с платформой, необходимо учесть перемещение вагона, т.е. определить его положение г0 в зависимости от времени t. Допустим, что такие измерения сделаны, т.е. известны г0(О и г'(?')• Каково будет положение рассматриваемого тела г(г) в момент времени t по часам, находящимся на платформе? Пример, рассмотренный в 1. 4, 8, показывает, что нельзя отождествлять показания подвижных часов с показаниями неподвижных, т.е. t'*t, и нельзя отождествлять измерения длин в разных системах отсчета, т.е. г' * г - г0. Для того, чтобы получить возможность использовать измерения подвижного наблюдателя r'(t') для определения движения тела относительно платформы, необходимо установить соответствие между показаниями часов в вагоне t' и показаниями часов на платформе t и соответствие между положением тела г' относительно вагона и положением его относительно платформы г. Это соответствие должно быть задано какими-то формулами
