Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
как независимые параметры, которые понимаются как взаимно сопряженные
только после проведения дифференцирования. Соотношение (2)
658
Глава 6
может быть представлено как дифференциальное уравнение первого порядка
относительно искомого коэффициента разложения сжатого состояния по
векторам |а) когерентных состояний:
д / I о\ {@ а
(5) ^(а\р, (а|М, /3).
Непосредственным интегрированием находим
/За* \а
(6) {а\/л, р, (3) = Сехр(^^- -
Постоянную интегрирования найдем из условия нормировки
(ц, р, (3\nv, /3) = \ J d2a\{/j,, v, j3\a)\2 = 1.
Для наиболее важного, с практической точки зрения, случая \ц\2 - \ v\2 =
1 возникающий нормировочный интеграл может быть вычислен явно:
1
7Г
[ 2 f (За* \а\2 va*2\ , , (. |2 (3*2р (32р*\
= и <"р(1Я2
В результате с точностью до произвольного фазового множителя получаем
следующее представление для матричного элемента перекрывания сжатого и
когерентного состояний:
/ , ах 1 ( И2 I/3!2 ро*2 , v*(32 а*/3
(7) ^,",0) = -^-----------------------_
Отметим, что в частном случае а = 0 (вакуумное состояние) и /3 = 0 (так
называемое состояние "сжатого вакуума") матричный элемент перекрывания
стремится к нулю 1/л/Ц -" 0, если /1 -> оо. Такой результат понятен из
общих геометрических соображений: перекрывание гауссова круга
неопределенности на плоскости а, характерного для когерентного состояния,
с эллипсом неопределенности, характерным для сжатого состояния,
уменьшается с увеличением степени сжатия.
6.43. Воспользуемся разложением
оо
(1) (а\[1, р, (3) = ^2(а\п){п\ц, р, (3).
71 = 0
6.4. Ответы и решения
659
Подставляя в правую часть этого равенства выражение, полученное в
предыдущей задаче, а в правую - известное значение скалярного
произведения векторов фоковского и когерентного состояний -
{а\п) = ехр(-|а|2/2)^= уп\
- приходим к следующему соотношению:
(п\ 1 ( vot*1 I Ра*\ (\Р\2 I о\
(2> + -)= еЧ~¦ ~w)v' Y
Это соотношение можно рассматривать как разложение выражения, стоящего в
левой части, в ряд по степеням а*. С другой стороны, левую часть можно
рассматривать как производящую функцию для полиномов Эрмита.
Действительно, производящая функция определяется соотношением [Абрамовиц
и Стиган (1979)]
оо
(3) ехр(-ж2 + ах) = ]Г |уНп (j)
71 = 0
и в случае х = ^v/2ца* и а = f3^j2j [iv совпадает с экспоненциальным
множителем в левой части разложения (2). Последнее принимает вид
Vi>^0 п!
= ехр(И - ^д.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а*, находим
искомый матричный элемент
/с\ /I m 1 (v\nl2 ( Щ2 , о- ( Р \
Обратим внимание на то, что в случае разложения состояния "сжатого
вакуума" (/3 -> 0) по базису фоковских состояний в пределе ji -> оо
становятся существенными проекции на состояния с большими п. Это
означает, что
660
Глава 6
геометрическая интерпретация "сжатого вакуума" в виде деформированного
вакуумного состояния на плоскости а, в значительной степени условна, ибо
сжатое состояние, в действительности, является многочастичным, с участием
большого количества фотонов.
6.44. Воспользуемся определением нормальной характеристической функции и
результатом предыдущей задачи:
(1) 6[к, И] = (7, /3| ехр(^а^) ехр(-Иа)|7, /3) =
= (vac\D^p)S\-f)eKaf S^)D((3)D^(3)S\-f)e-K'aS(-f)D(p)\vac). Используем
также закон преобразования операторов
5(7)а5^(7) = jia + иа\ S (7) а^ (7) = /м^ + И а,
D(/3)aD^ (/3) = а - /3, 1?(/3)а^1^(/3) = - /3*.
Учитывая свойство операторов сжатия и сдвига ^(7) = S(-7) и = D(-(3),
соотношение (1) может быть преобразовано к виду
6[к, И] = ехр [tt(/i/3* - И/3) - к*(ц(3 - vl3*)] х
х (тс| ехр - Иа)] ехр - vcft)\ \vac).
Разлагая операторные функции в ряды Тейлора и удерживая только вклады,
неисчезающие после усреднения по вакуумному состоянию, получим
6[к, И] = ехр [tt(/i/3* - И/3) - я* (/i/3 - ИЗ*)] х
^ ^ х ехр кк* sh2 г - ^-е-2м9 sh 2г - ^-е2м9 sh 2г^ ,
что совпадает с ответом, приведенным в условии задачи.
Данное состояние описывает поле, характеризуемое средней комплексной
амплитудой (а) = а и поведение поля в среднем напоминает поведение
когерентного состояния той же амплитуды. Однако в отличие от когерентного
состояния неопределенности квадратурных компонент ведут себя иначе.
Предположим для простоты, что параметр /3 - вещественен, а фаза д -> 0. В
соответствии с определением квадратурных компонент (см. задачу 6.33)
Х\ = -(И + а), л/2
Х2 = -L(St _?).
72
6.4. Ответы и решения
661
Используя производящую функцию (4), находим
(ДХ2) = - (а2 + а1"2 + 2а*а + 1) - ((а)2 + (а1")2 + 2(а)(а*))
(5)
при г
(АХ2) = | [(-а2 - at2 + 2ata + 1) + "а)2 + (а+)2 - 2 (а) (а*))
= ^ [1 + 2er sh?
при г
Таким образом неопределенность координатной квадратуры уменьшается, а
неопределенность импульсной квадратуры неограниченно нарастает. При этом
для произведения (АХ2)(АХ|) = 1/4 сохраняется то же значение, что и для
когерентного состояния. Именно свойство (5) и определяет эти состояния
как сжатые. Предоставляем читателю самостоятельно исследовать, как
изменится результат в общем случае комплексной амплитуды (3 и
