Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 197

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 191 192 193 194 195 196 < 197 > 198 199 200 201 202 203 .. 225 >> Следующая

= гП ----Л-----Я----- lG (Tl ~r2, tl -t2);
\ с2 dt\dt2 dxladx2(3)
^ ^ Q2 _
[.Еа(п, ti), Я/3(г2, *2)] = ----G (n - r2, t\ - t2).
OCtiUXi^
Здесь
(Г (Д, r) = l[5(r + R/c) - <5(r - Д/с)]
- функция, определенная в задаче 5.9. Компоненты полей можно
одновременно измерить сколь угодно точно только в таких точках
четырехмерного пространства, которые не могут быть связаны световым
сигналом. Подробнее об этом см. в [Гайтлер (1956)].
6.13.
[Ea(ri, ti), Ap(r2, t2)] =
expik • (r\ - r2) coscj(ti - t2).
Коммутатор отличен от нуля и для точек, разделенных
пространственноподобными интервалами, например для t\ = t2, ri 7^ г2. Но
векторный потенциал А не является наблюдаемой величиной, поэтому
соображения
о взаимной обусловленности наблюдаемых событий к нему неприменимы.
640
Глава 6
6.14. В квантовой теории оператор физической величины должен быть
эрмитовым. Поскольку операторы Е и Н не коммутируют (см. задачу 6.12),
оператор Р, построенный по принципу соответствия, необходимо симмет-
ризовать:
(1) p=sbj ^(r) х ^(r) " ^{t) х ^(r)] dv'•
V
При подстановке в (1) операторов поля (6.14), (6.15) получаем оператор
импульса, выраженный через операторы рождения и уничтожения фотонов:
(2) Р = ^2 hkffi 8а8 + 1/2).
S
6.15. Обозначив вектор состояния поля (с учетом всех мод) через |0) и
вычисляя средние значения напряженностей поля, получим Е =
= <0|Я|0) =о,н = о,
оо
АЁ2 = W = (0|.Е2(г)|0) = = Щ J со3 du -> оо.
s о
Аналогичным образом получим АН2 = Н2 -> оо. Эти две бесконечности имеют
ту же природу, что и бесконечная энергия вакуума.
6.16. Оператор электрического поля в гейзенберговском представлении был
построен в задаче 6.12 и может быть записан с помощью формулы (6.14) в
виде
(1)
E(r, t) = ^2{asE(r, t) + э.с.}, где E(r, t) = iesJel(-k'r~LOtK
S
Операторы а, а+ в последнем равенстве не зависят от времени, э.с.
означает эрмитовски сопряженное выражение. Усредняем гейзенберговский
оператор поля, зависящий от г и t как от параметров, по пространственно-
временной области с весовой функцией:
(2) Ё(г, t)= [ E(r -r',t- t')g(rt') d3r' dt'.
6.4. Ответы и решения
641
С помощью (1) находим
(з)
E(r, t) = ^{asS(r, t)G{k) + э.с.},
S
где
(4)
G(k) = J g(r, t)e
-ik-r-cot d3r ^ L0 = ck_
С помощью усредненного оператора поля находим вакуумные средние:
где в последнем равенстве мы перешли от суммирования по дискретным модам
к интегрированию по волновым векторам и учли две поляризации каждой моды.
Аналогичный расчет нужно проделать с магнитным полем. Фурье-образ весовой
функции вычисляется без затруднений и в функции частоты с учетом
нормировки имеет вид G(u) = ехр(-си212 /2с2). В итоге получаем конечное
значение вакуумных флуктуаций поля
Высокочастотные моды, приводящие к расходимости вакуумных флуктуаций,
были устранены в результате усреднения.
6.17. В предположении L^> z вычисляем разность энергий AU вакуумных
флуктуаций в пространстве между пластинами при наличии пластин и в их
отсутствие. Тем самым мы избавимся от расходимости энергии нулевых
колебаний. В первом из этих случаев интегрирование по к следует
ограничить снизу значением ?;min " 2тг/так как в области размером z не
может быть флуктуаций с длинами волн, превышающими г. Использовав
результат задачи 6.15, найдем в расчете на единицу площади пластин
(5) Е = (0|?!|0) = О, АЕ2 = Е2 = (0\E2(r,t)\0) = ^ J G(k)ud3k,
(6)
АЕ2 = АН2 = Ц.
14
Аи&Щг
2тт
к3 dk
/
О
оо
к3 dk
2ir2hc
Сила вычисляется путем дифференцирования по г:
642
Глава 6
Пластины притягиваются с силой, быстро убывающей с расстоянием. Точный
расчет [Лифшиц и Питаевский (1978)] дает для этого случая другой
численный коэффициент: тг2/240 вместо нашего 67Г2. Ввиду высокой
(четвертой) степени зависимости от ?;min результат чувствителен к этому
параметру, известному только по порядку величины.
6.18. На электрон атома действует не только поле ядра и других
электронов, но и нулевые колебания электромагнитного поля. Эти колебания
приводят к "дрожанию" электрона на его квантовой орбите, вследствие чего
изменяется действующее на него поле и положения энергетических уровней
электронов испытывают некоторые смещения (лэмбовский сдвиг).
Количественно изменение потенциальной энергии выразится следующим
образом:
Усреднив эту величину по нулевым колебаниям, получим в первом
неисчезающем приближении следующую добавочную потенциальную энергию за
счет нулевых колебаний:
Здесь учтено, что нулевые колебания изотропны, поэтому (5г(= О,
Оценим средний квадрат смещения электрона по порядку величины, считая его
отклонения от равновесной орбиты квазиклассическими. Если частота
"дрожания" существенно превышает атомные частоты, то уравнение движения
осциллятора под действием поля моды s можно записать в виде
(3) т5гs = еЕs cos ооst (Mr " 1).
Решение этого уравнения, Srs = -eEs (t)/muo2s, возводим в квадрат и
усредняем по вакуумному состоянию электромагнитного поля с помощью
резуль-
2 ^2
тата, полученного в задаче 6.15, заменяя (Es(t)) -> (0|I2S|0) =
Предыдущая << 1 .. 191 192 193 194 195 196 < 197 > 198 199 200 201 202 203 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed