Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
iut), т. е. совершает вращение в комплексной плоскости с частотой и.
Фазовый множитель ехр(-icot/2) одинаков для всех когерентных состояний и
обусловлен энергией нулевых колебаний вакуума. Его присутствие никак не
проявляется при вычислении средних значений наблюдаемых величин.
6.31. Согласно определению,
(1) а\а) = а\а).
Запишем это уравнение в координатном представлении, учитывая, что для
полевого осциллятора в этом представлении оператор уничтожения имеет вид
(Д3.54):
(2) (^|)w = M|a).
Здесь (?|а) = фа(0 ~ волновая функция когерентного состояния, зависящая
от безразмерной координаты. Дифференциальное уравнение первого порядка
(2) имеет решение
(3) <?|а}=С(а)ехр(-(?-У2а)2/2).
Нормировочная постоянная, выбранная вещественной, равна
(4) С (а) = (1/тг)1у/4 ехр(-2(1пт)2).
Формула (3) задает распределение Гаусса со средним значением (?) = = л/2а
и дисперсией (Д?2) = 1/2. Зависимость от времени этого состояния
6.4. Ответы и решения
651
можно найти, если учесть, что для свободного поля в когерентном состоянии
a(t) = "о ехр(-iuot) (см. предыдущую задачу). Обозначая ао = ?о/л/2,
получим следующее выражение для распределения плотности вероятности
безразмерной координаты гармонического осциллятора:
(5) р(?) = 7г~1/2 ехр (-(? - cos wt)2).
Из полученного распределения, в частности, следует, что среднее значение
координаты полевого осциллятора меняется со временем точно так же, как и
для классического гармонического осциллятора.
6.32. Воспользуемся разложением когерентного состояния по базису
фоковских состояний
(1)
Учитывая, что |п) = а^п\0)/Vn\, можем переписать разложение (1) в виде
( la|2A (сш))п ( Н2\ /
И =ехр^--J ^ п[ |0) = ехр (-- j ехр (aaf) |0).
Данное соотношение можно представить в более симметричной форме, введя
дополнительный оператор ехр (-а*а) перед кет-вектором вакуумного
состояния, поскольку
ехр (-а*а) |0) = |0)
В силу теоремы Кемпбелла-Бейкера-Хаусдорфа (Д3.70),
exp^-ехр ехр (-а*а) = ехр (acfi - a*a) ,
что представляет собой оператор сдвига, определенный в условии задачи.
6.33. Требуемые величины могут быть вычислены, если выразить операторы
координаты и импульса через операторы рождения и уничтожения. Для
координатной квадратурной компоненты, в соответствии с определением,
получим
(АХ2) = (е2) - (О2 = {(а2 + at2 + 2а*а + 1)/2) - {(а + а?))2/2 =
= (l/2)(a2 + а*2 + 2|a|2 + 1) - (l/2)(a2 + а*2 + 2|а|2) = 1/2.
652
Глава 6
Аналогично может быть вычислена дисперсия импульсной квадратурной
компоненты (AXf) = 1/2. Для размерных переменных соответственно получим
(AQ2) = h/(2uo) и (АР2) = Huj/2.
6.34.
Di(t) = Di(0) cos2(uot) + 1^2(0) sin2(cjt) +
+ [(XiX2 + Mi) - 2(Xl)2(X2)2\cos(wi)sin(wi), D2(t) = D2(0) cos2(idt) +
?>i(0) sin2(wt) -
- + Х2Хг) - 2<^1)2<^2)21 cos(ut) sin(ut).
Обе величины осциллируют на удвоенной частоте своей моды, а их сумма
Di(t) + D2(t) = Di(0) + 1)2(0) не зависит от времени и выполняется
соотношение Di(t) = Дг(? - тг/(2и)) - сдвиг по фазе на тг/2.
Для фоковских и когерентных состояний (Х1Х2 + Х2Х\) - -2(Xi)2(X2)2 - 0
(для фоковских каждое слагаемое равно нулю, а для когерентных среднее от
произведения равно произведению средних), кроме этого Di(0) = 1)2(0).
Таким образом, для этих состояний дисперсии квадратурных компонент не
меняются с течением времени.
6.35. Используя распределение Пуассона (6.30), находим дисперсию числа
квантов (Ап2) = {(п - п)2) =п= \z\2.
6.36. Воспользовавшись свойством полноты когерентных состояний, имеем
p=J2Cn,m^ fan\a)(a\a)md2a= f ? ±Сп,тапа*т\а){а\d2a.
п,т п,т
Таким образом, из сравнения с (6.38) имеем
&>(а) = ±Сп,тапа*т.
Обратим внимание на то, что эта функция одновременно зависит от а и а*,
т. е. не является аналитической функцией а.
6.37. Записываем матрицу плотности для одной моды через векторы фоковских
состояний
оо
(1) р=^2рпп\п){п\, где рпп = (1 - е~а)е~ап, а =
71 = 0
6.4. Ответы и решения
653
Значение рпп определяется формулой (1) из решения примера 6.3, где оно
обозначалось посредством Wn- Вводим в эти соотношения среднее число
фотонов (6.24),
Здесь мы использовали результат (6.28) и разложение экспоненты в
степенной ряд. Подставив выражение (3) под интеграл в (6.42) и выполнив
интегрирование, получим (6.44).
6.38. Матрица плотности в фоковском представлении может быть найдена как
результат непосредственного вычисления ее матричных элементов
Интеграл по фазе комплексной амплитуды ср даст символ Кронекера 5пт,
интеграл по модулю |а| вычисляется на основе известных свойств дельта-
функции. В результате находим
Диагональные элементы совпадают с диагональными элементами когерентного
состояния, а недиагональные равны нулю. Подчеркнем, что именно отсутствие
недиагональных компонент матрицы плотности отличает это состояние от
когерентного.
Ь [ ^(а)аЛ-у exp(-\a\2)d2a = J уп\ га!
л/n! га!
277
ОО 277
О
О
пт •
654
Глава 6
Нормальная характеристическая функция может быть найдена в соответствии с
ее определением:
9[к, к*] = Sp(pex.p(tza^) ехр(-к*а)) = (6.134)
