Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
возбужденном состоянии 2р
6.4. Ответы и решения
665
6.51. Согласно результатам задачи 6.20, фотон с правой циркулярной
поляризацией имеет проекцию спина +Й на ось, направленную вдоль его
волнового вектора к. При поглощении его электроном по закону сохранения
момент фотона будет передан электрону, который перейдет в состояние с Ш|
= +1. Аналогично, фотон с левой круговой поляризацией переведет электрон
в состояние с mi = -1, а линейно поляризованный фотон - в состояние с mi
=0.
6.52. Интенсивность 1а линии Lya уже была вычислена в задаче 6.48.
Вычислив аналогичным образом 1р, получим 1а/1р ~ 3,2.
6.53. После интегрирования дифференциального выражения (6.76) для
вероятности электрического дипольного излучения по направлениям вылета
фотона получим
(1)
Матричный элемент дипольного момента должен вычисляться с волновыми
функциями
(2) Фг = R2o(r)YooXiJL, Ф/ = ^21 (0^1/2
Выразив радиус-вектор через сферические функции Лежандра (см. уравнение
(3) из решения задачи 6.47) и использовав условие ортонормированно-сти
спиноров (хд/, Xfi) = получим
___ оо
(3) Pfi = e\j^Cl,l(tm)-lil/2v,e"-rn3 J R2o(r)R2l(r)r3 dr.
о
Полная вероятность перехода должна быть просуммирована по конечным
состояниям полного момента mj = ±1/2 и усреднена по начальным спиновым
состояниям // = ±1/2: w = (1/2) wSp• Выделив множители,
зависящие от магнитных квантовых чисел, будем иметь
(л) IVVr2 ш° с1/2гп° (е* е )-
т, (jl
_ г1/2т3
2
С
1/2 rrij
= 1.
666
Глава 6
Последнее равенство является следствием ортонормированности спин-угло-вых
функций Ф jmj. Пользуясь их определением, данным в условии задачи,
находим
(5) Фjmj) =
= Е ^ =
т' т,ц
___ \ л гчЭ шз г^Зшз _____ Л Л
- 1т 1/2ц^1т1/2ц ~ °jj'°mjm,j-
т,ц
Это значение суммы коэффициентов Клебша-Гордана и использовано при
получении результата (4). Таким образом, вычисляя простой интеграл в (3)
и собирая найденные величины, приходим к выражению
12 е2а2вио3 q
w =-------" 0,8 х 10"9 с.
he6
6.54. Считая протон неподвижным, запишем волновые функции атома в
начальном и конечном состояниях:
(1) ipi = Д10У00Ф1М, - Дю^ооФоо.
Здесь Rio, Y00 - радиальная и угловая функции электрона, Фsm - спиновые
волновые функции электрона (е) и протона (р), соответствующие синглетному
и триплетному состояниям:
Фоо = ^=[Xi/2(e)X-i/2 (р) - Xi/2(p)X-i/2(e)],
(2) Г Xi/2(e)xi/2(p), М = 1;
ф1М=< ^=[xi/2(e)x-i/2(p) - Xi/2(^)X-i/2(e)], М = 0;
, x-i/2(e)x-i/2(p), М = -1.
Радиационный переход сопровождается изменением спинового состояния двух
частиц и вызывается взаимодействием спина электрона с полем излучения.
Взаимодействие протона с полем меньше в тр/те раз и может не учитываться.
В операторе взаимодействия (6.57) достаточно учесть только спиновую
часть,
(3) V = -fiBv-H,
6.4. Ответы и решения
667
так как остальные слагаемые дадут нулевой вклад из-за ортогональности
спиновых функций синглетного и триплетного состояний. В (3) Э - матричный
вектор Паули, рв - магнетон Бора. Вычисляя матричный элемент от оператора
Э с волновыми функциями (2), находим (Фоо,<тФю) = ez• Для М = =Ь1 получим
соответственно ±ezj\[2. Для вычисления вероятности перехода в единицу
времени используем формулы (6.10) и (6.59). Полная вероятность,
усредненная по начальным состояниям М = 0, ±1 и просуммированная по
поляризациям кванта, запишется в виде
(4) w = If- A(f34 ~2 х 10~15 с-
V ' 9 he hm2c
Рассмотренный переход между подуровнями сверхтонкой структуры атомов
водорода соответствует длине волны порядка 21 см и широко используется в
радиоастрономии для исследования распределения нейтрального
(неионизованного) водорода во Вселенной. Любопытно сравнить времена жизни
триплетного подуровня и уровня 2р водорода (см. задачу 6.49): в первом
случае имеем г = 1/w " 107 лет, тогда как для перехода 2р -> Is в
ультрафиолетовом диапазоне получаем г " 1,6 х 1СГ9 с. Столь большая
разница в основном обязана сильной зависимости, г ос и~3, от частоты
излучаемого фотона.
6.55. Применяем общую формулу (6.57) теории возмущений,
(1) dwabs = ^\(f\V\i)\2S(gi -Sf + fko)dv, где
(2) V = - (е/тс) A • p,
а векторы начального и конечного состояний имеют вид
(3) |г(= ipwo(r)\Ns), \f) = ^p(r)\Ns - 1), фр =-^-elP-
r/h
(27щ6/г
- волновая функция свободного электрона в конечном состоянии. При
такой нормировке число состояний в непрерывном спектре следует записать в
виде
(4) dv = р2 dp dQp = 2}l2vr?l28y2 dip dQp.
Спиновое состояние электрона не изменяется под действием оператора (2),
поэтому спиновую волновую функцию можно не выписывать.
668
Глава 6
Для получения сечения рассеяния нужно поделить (1) на плотность потока jo
= Nsc/"V падающих на атом фотонов. При интегрировании в матричном
элементе по координатам следует учесть, что волновой вектор кванта мал по
сравнению с волновым вектором электрона, к ph. После проведения
вычислений получим дифференциальное сечение фотоионизации атома
поляризованными фотонами:
где п = р/р - направление вылета электрона, /о - энергия связи
