Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
покоился.
6.74. Показать, что
Зр(а^) = Sp(aj3) = Sp(a^av) = Sp(a^avP) =
= Sp(a(1aua\) = Sp(a(jLava\f3) = 0, (6.130)
где a^Z/3 - матрицы Дирака, причем fi ф v ф A.
УКАЗАНИЕ. Использовать циклическую перестановку сомножителей под знаком
шпура и представить каждое из приведенных выражений (кроме первого) в
виде некоторого коммутатора.
6.75. Доказать равенства
(й-е)(й-п) = -(й-п)(й-е), (й-а)(й-а) = а2, Srp(6t-a)(6t-b) = 4(а-
Ь),
(6.130)
где а, b - произвольные неоператорные векторы, е, п - взаимно
перпендикулярные векторы.
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
637
6.76. Вычислить шпуры
Sp(a^au) - 45^, Spioi^OiyOix^cr^) - 4Н- Зцсг^Хи Х^иа)-
(6.131)
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться правилами коммутации матриц Дирака и их
трансформационными свойствами как компонент трехмерных векторов.
6.77*. Вычислить Sp(BPqB^Р) (см. пример 6.18) для случая линейно
поляризованных фотонов, когда орты поляризации действительны.
УКАЗАНИЕ. Использовать формулы (6.130)-(6.131).
6.78*. Произвести анализ формулы Клейна-Нишины-Тамма (6.128).
1. Записать сечения da\\, da±_ рассеяния линейно поляризованного
фотона для случаев, когда рассеянный фотон поляризован в плоскости (к,
во) и перпендикулярно этой плоскости, а также для случая, когда
поляризация рассеянного фотона не фиксируется.
2. Показать, что сечение рассеяния неполяризованных фотонов da имеет
вид
Шо . со . 2, -- -Ь -г- - sin <
СО СО о
dSi. (6.132)
3. Произвести предельный переход к нерелятивистскому случаю соо <С тс2
и сравнить результат с формулой Томсона (см. задачи 5.128, 5.129).
4. Рассмотреть ультрарелятивистский случай со о > тс2 и
проанализировать области больших и малых углов рассеяния по отдельности.
6.79. Проинтегрировать сечение рассеяния неполяризованных фотонов на
электроне по углу рассеяния и найти полное сечение ас компто-новского
рассеяния. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и релятивистский
предельные случаи. Построить график зависимости от параметра х = hcoo
/тс2 его отношения ас/&т к томсоновскому сечению (см. задачу 5.129).
6.80. Записать дифференциальное сечение комптоновского рассеяния
неполяризованных фотонов (6.132) в расчете на единичный интервал энергии
рассеянного кванта Нсо.
6.81. Тяжелая ультрарелятивистская частица налетает на нерелятивистский
электрон. Пользуясь методом эквивалентных фотонов, вычислить суммарное по
всем направлениям эффективное дифференциальное сечение излучения фотонов
заданной энергии.
638
Глава 6
6.82*. Ультрарелятивистский электрон сталкивается с неподвижным атомным
ядром, имеющим заряд Ze. Пользуясь методом эквивалентных фотонов,
вычислить эффективное дифференциальное сечение тормозного излучения
квантов заданной частоты.
6.83. Ультрарелятивистский электрон сталкивается с первоначально
неподвижным электроном. Пользуясь методом эквивалентных фотонов,
вычислить эффективное дифференциальное сечение тормозного излучения
квантов заданной частоты.
6.4. Ответы и решения
6.3. Применим операторное разложение (Д3.67) к гейзенберговскому
оператору
(1) о>н{Ъ) = ехр(а^)аехр(-аЖ),
где а = it/ft, Ж = hu;(cfta + 1/2). Имеем [Ж, а] = -hum, [Ж, \Ж,
а}} =
оо
= (-hw)2a и т.д. В итоге получаем a#(t) =aJ2 {-iut)n/n\ = aexp(-iut)
71 = 0
и аналогичным образом a\j(i) = a) exp(iut).
Но можно поступить проще. Продифференцируем обычным образом операторное
выражение (1) по неоператорному аргументу t. Получим
^ ехр(гЖ/К)[Ж, а] ехр(-гЖ/К) = -гитн•
Из вида производной следует экспоненциальная зависимость ан от времени.
6.4. Q(t) = Q(0) cos cot + (P(0)/co) sincjt,
P(t) = P(0(coscut - loQ(0) sin ut.
6.5. a) a = at = 0; б) P = Q = 0; в) a2 = at2 = 0; r) AQ2 • AP2 fr(n ¦
1/2)-.
6.6. (fn = hw(n + 1/2), Ф"(т?) = Ane~^/2Hn(rj), r) = P/y/Kj, An = = 1 /
\/'2nn[ Утг, Яп - полином Эрмита.
6.7. AQAP = h(n + 1/2) ^ h/2.
6.8. Воспользуемся первым тождеством (Д3.66): An = [an, a+] = = [an-1a,
a+] = an_1[a, a+] + An-{a = 2a + An_2a2 = . .. = nan_1. Аналогичным
образом получаем [a+n, a] = - n(a+)n_1.
6.4. Ответы и решения
639
6.9. Согласно условию, / = Аоо+Аюа+-\-A20a2 + ..., где А - постоянные.
Трудный вопрос о сходимости ряда после его действия на волновую функцию
не обсуждается. Докажем, например, первое соотношение. Возьмем типичный
член вида Аака+1ата+п и преобразуем его коммутатор сН+ с помощью первого
тождества (Д3.66) и результата предыдущей задачи: \дка+1дша+п, а+] =
[а/еа+гат, а+]а+п + дка+аш[а+п, а+] = =[ак, а+]а+1 ата+п+ака+1 [ат,
а+]а+п=кдк~1а+1ата+п +dka+Wrmm~1a+n. С другой стороны, тот же результат
получится и при формальном дифференцировании по а, при котором считается
постоянным и сохраняется изначально заданный порядок операторов.
6.11. Операторы поля в представлении Гейзенберга получаются из (6.13)-
(6.15) путем замены в этих выражениях а+, а на зависящие от времени и
полученные в задаче 6.4 гейзенберговские операторы а+(?), a(t).
6.12.
[Ёа(п, ti), Ёр(г2, t2)} = [яа(п, ti), Н/з(г2, г2)] =
д2 92 \Г1-( + + ^
