Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
27rhcos/V. Получаем
(2)
V(r) = (5U) = |(V2C/(r))(<5r2).
(Sxa5xp) = (1/3 )(Sr2)Sap.
(4)
6.4. Ответы и решения
643
Суммирование по модам с переходом к интегрированию по частотам дает
Интеграл расходится логарифмически, и его нужно обрезать на верхнем и
нижнем пределах. Нижний предел должен быть порядка атомной частоты соо в
соответствии со сделанным ранее предположением. Верхний предел
оценивается из соображения, согласно которому в нерелятивистской системе
(атоме) существенны частоты huo ^ тс2, где т - масса электрона. Таким
образом, полагаем cjmin = too, сотах = тс2/Н и получаем в итоге
Теперь значение энергии возмущения (2) известно, и можно найти поправку к
энергии электрона в атоме, вызванную этим возмущением, пользуясь
стационарной теорией возмущений [Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]:
где - волновая функция того состояния, к энергии которого ищется
поправка. В атоме водорода, считая ядро точечным, имеем U(r) = -е2/г,
V2U(r) = 47ге2?(г). Используя этот результат, а также (2) и (5), находим
сдвиг уровня энергии:
В рассматриваемом приближении испытывают сдвиг только уровни энергии тех
состояний, у которых ^(О) ^ 0. Таким свойством обладают лишь состояния с
орбитальным моментом I = 0 (5-состояния). Волновая функ-
боровский радиус. В качестве величины Нсоо используем атомную единицу
энергии hwо = те4/К2. Подставляя в (7) все указанные величины, получим
(6)
№ = {ф\У\ф),
ция 25-состояния атома водорода |^2сю(0)|2 = 1 / 8тг a'g, где а в =
h2/те2
Здесь в виде индексов у энергетических сдвигов указаны главное квантовое
число, орбитальный момент и полный момент электрона (j = 1/2 в обоих
644
Глава 6
случаях). Если поправка, связанная с нулевыми колебаниями, не
учитывается, то рассматриваемые два уровня энергии совпадают. При учете
нулевых колебаний они расщепляются. Наш оценочный расчет дал величину
расщепления Д<§201/2 - 0,52тс2аъ. Точный расчет [?] дает значение 0,41
тс2аъ. Этому значению соответствует частота перехода 1050 МГц.
6.19. Полный момент поля относительно точки с радиусом-вектором го в
классической теории вычисляем по формуле
(1) J(r0) = J(r-r0)x3tdV = J(0)-r0xP, & = ^ExH
- плотность импульса. Сделаем подстановку Н = V х А и преобразуем
выражение для J путем интегрирования по частям в предположении отсутствия
поля на бесконечности (полезно использовать соотношения (1.23а) и
тождество (б) из задачи 1.28, а также уравнение Максвелла V • Е = 0). В
итоге получим два слагаемых: J(rо) = L(rо) + S, где
(2) i(r°) = ife / Е" Кг - го) X V]^a dV
- орбитальный момент поля, зависящий от выбора начала отсчета;
(3) S=±-J[ExA]dV
- спиновый (внутренний) момент поля, не зависящий от выбора начала
отсчета координат. Соответствующие операторы получаются из (4), (5) по
принципу соответствия путем "эрмитизации" классических выражений, как это
было сделано для импульса поля (см. решение задачи (6.14):
(4) J{Ea[(r-r0)xV}Aa+Aa[(r-r0)xV}Ea}dV,
(5) § = gL J[ExA-AxE]dV.
6.20. Пользуясь формулой (5) из решения предыдущей задачи и подставляя в
нее операторы (6.13), (6.14), а также базисные функции (6.16), находим
S = ih f akcr/akcr 2^a(j/ ) ^Gkcr Х ек(т')-
к,(7,(7' ' '
6.4. Ответы и решения
645
При линейной поляризации фотонов орты действительны, векторное
произведение отлично от нуля только при сг ф сг': ек1 х е?2 = к/к.
Спиновый оператор принимает вид
5 = *У(Ш/г) (V -
к
и при усреднении по состояниям с определенным числом фотонов дает нуль.
Циркулярно поляризованные фотоны имеют орты ek,±i = eki =Ь -^
V2
(см. задачу 2.133). Их векторное произведение отлично от нуля только при
сг = сг' и дает ek ±1 х е? ±1 = =рik/k. Спиновый момент каждой моды с
заданным к направлен вдоль к и равен квантовой постоянной Н, умноженной
на разность чисел фотонов с правой и левой спиральностями:
s = J2(hk/k) №,+i - wk,-i) • k
6.21. 1а{ш, п) =
о7Г С
6.22. = hw, (n, + b) = b coth hWs
2) 2 2T
6.23. Равновесное электромагнитное излучение распределено изотропно в
пространстве, поэтому спектральная интенсивность излучения 1(и)
(плотность потока энергии излучения в заданном направлении, приходящаяся
на единичный интервал частот) связана со спектральной плотностью
излучения р(и) соотношением р(и) = 47т 1(и)/с. Умножая энергию одного
кванта Ни на среднее число (6.23) квантов одного осциллятора поля и на
число осцилляторов (2.164), приходящихся на объем У, интервал частот du и
телесный угол бЮк, находим соответствующую энергию
(1) d8(uj) = hiosN 2У яси3 dto (Юк.
(2нс)6
Чтобы получить спектральную плотность энергии, следует проинтегрировать
(1) по телесному углу, поделить на объем У и на интервал du:
(2) рМ= П
тг2с3 eifku/T) - 1
(формула Планка для спектральной плотности равновесного излучения).
2
4
6
8
10
12
14
Рис. 6.4
График спектрального распределения Планка приведен на рис. 6.4. По
вертикальной оси отложена спектральная плотность, по горизонтальной -
частота (обе в произвольных единицах). Температуры для трех изображенных
