Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 194

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 188 189 190 191 192 193 < 194 > 195 196 197 198 199 200 .. 225 >> Следующая

(2) {l\V\i) ос У ехр||(рг =F Й-fe-р^)| d3r =
где знак минус соответствует поглощению фотона, а знак плюс - его
испусканию. С учетом сохранения импульса переходы типа 1 и 2 можно
изобра-
630
Глава 6
зить графически (диаграммы Фейнмана на рис. 6.3). Сплошными линиями
изображены состояния электрона, волнистыми - фотонов, с указанием их
импульсов. Каждой вершине, в которой сходятся три линии, нужно
сопоставить матричный элемент оператора V. В каждой вершине выполняется
закон сохранения импульса, но не энергии. Энергия сохраняется лишь для
всего процесса в целом.
Вычислим значения величин, входящих в (1). Очевидно, что начальная
энергия системы е* = тс2 -\-hcoo. Введем обозначение е' для энергии
промежуточного состояния, соответствующей диаграмме 1, и е" для диаграммы
2. Тогда
е' = ё', е" = ё" + hu0 + hco, где 8' = ± Y//m2c^T7^o)2, ё" = ±д/т2с4 +
(Ни)2
- энергии электрона в промежуточных состояниях. Они могут иметь оба
знака. Наконец, для разностей энергий в знаменателях (1) получаем
(4) ег - с = тс2 + Hloq - ё', €i - е" = тс2 - Ни - ё".
Далее вычисляем матричные элементы, обозначив для краткости через F сумму
по I в формуле (1):
Г ^ (ттт i €i~ei = 2тгНс2е2 у- f (и\а ¦ е*\и'х)(и'х\а ¦ е0\и0) |
"V y/u>uiо me2 + Hloo - 8Х
(и\а ¦ eolu'Diu'Ha ¦ е*\и0)\ тс2 - Ни) - §х J
Здесь суммирование по Л означает учет двух знаков энергии и двух спиновых
состояния для каждого биспинора и', и". Указанное суммирование удобно
выполнить, переведя всю зависимость от Л в числитель. Воспользуемся
дираковским гамильтонианом (6.111) и запишем
(6) (choL • ко + /Зтс2)и'х = ё'хи'х, (-choc • к + (Зтс2)их = ёхих.
Умножив в (5) числитель и знаменатель первой дроби на тс2 + Ни о + ёх,
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
631
а второй дроби на тс2 - hw + , и воспользовавшись (6), будем иметь
/у\ 27тНс2е2 Д ( {и\а.-е* (тс2 + hWo+choL-ko+Pmc2)\u'x) {их\а.-
ео\ио)
' ' F=rv5^A?i| (г"С2+ЙШо)2-"'2 +
(w|S-eo(mc2 - - сНа-к+Ртс2)\и") {u"\6t-C* |uo) 1
+ (¦mc2-HLO)2S"2 J'
Для упрощения этих выражений используем условие полноты биспиноров
(уравнение (14) примера 6.17), а также соотношения (6) для начального
состояния электрона, которые дают (Зио = щ, и правило антикоммутации
матриц Дирака (6.115). В итоге получаем
(8) F = ----{2(е0 • е*)(и\и0) + (и|(а • е*)(а ¦ п0)(а • е0)+
У m-sjww о
+ (а • е0)(а • п)(а • е*) |м0)} ,
где единичные векторы по, п указывают направление импульсов первичного и
рассеянного фотонов.
Если направления спина электрона в начальном и конечном состояниях не
фиксируются, то квадрат модуля матричного элемента (8) нужно усреднить по
начальным и просуммировать по конечным состояниям. Очевидно, что
начальная энергия электрона <?о = гпс2 и его конечная энергия 8 = = тс2 +
Н(ко - к) положительны. Поэтому усредненный квадрат модуля
(9)
±рм,
где В = 2(ео • е*)1 + (а • е*)(а • по)(а • во) + (а • во)(а • п)(а • е*)
- оператор, входящий в (8). Суммирование производится только по двум
состояниям, относящимся к положительным энергиям. Чтобы снова
воспользоваться полнотой системы биспиноров, удобно ввести операторы
проецирования на состояния с положительной энергией
р = 8о + Ж0 р _ g + Ж (10) 0 2<?0 ' 2<? '
где Жо = (Зтс2, Ж = chci-(ko - к) + рте2
- гамильтонианы начального и конечного состояний электрона в
импульсном представлении. Имеем для состояний с положительной энерги-
632
Глава 6
ей Р0и0 = г/о, Ри = и, тогда как для состояний с отрицательной энергией
Р0и0 = Ри = 0. С использованием операторов проецирования распространяем
суммирование в (9) на все четыре состояния и получаем
(11> ^ = 2у4л1 ? ±<мёШыв<т =
Ш Л0=1 А=1
2ft2"4
tv II е
2f ш шо
^{ВРоВ+Р}.
Используем значение шпура, вычисленного в задаче 6.77* для квантов с
линейной поляризацией:
(12) Sp{BPoB'P} = ^f4eo • е)2 + 2^~ ") (1 _ п . По).
Вычислим дифференциальное сечение рассеяния фотона на свободном
электроне, для чего необходимо разделить (1) на плотность потока падающих
фотонов с/У и проинтегрировать по энергиям рассеянного фотона с
использованием дельта-функции:
dcr = / dwf%.
(13) da=^ J
Чертой обозначено выполненное ранее усреднение по начальным и
суммирование по конечным поляризациям электрона. Из закона сохранения
импульса будем иметь
(14) Ci - ef = me2 + /г(с^о - оо) - yjm2c4 + /г2(^д + cos 0) = 0,
где # - угол рассеяния кванта. При фиксированном угле рассеяния получаем
( . dfe - ef) _ me2 + ftcj0(l - cos 0) _ тс2со0
[ } d(hw) 8
что позволяет записать с помощью соотношения (1.209)
(16) 5(ei - ef) = ^ 5(Ниsc - huo).
тс и о
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
633
Здесь
/1-7\ ^0
(17) UJSC =---------------------
1 + ^(1- cos (9)
тс
- частота рассеянного фотона, выраженная через частоту первичного
фотона и угол рассеяния (см. ответ к задаче 6.73). Использовав
последовательно формулы (1), (5)-(12) и (16), получим искомое сечение
(формулу Клейна-Нишины - Тамма):
<ь= j ^
4 \тс J со?
^ + ^-2 + 4(е0-е)2 <К1. (6.128)
Предыдущая << 1 .. 188 189 190 191 192 193 < 194 > 195 196 197 198 199 200 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed