Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
= E р{ммш i4-)(r' ^+)(^пжед.
Здесь оператор плотности разложен по полной системе фоковских состояний и
использована его диагональность в этом базисе. Используя явный
t
(3)
О
t t
}(г' т2)|/) exp(itL>2i(ji - т2)).
t t
//
dT1dT2({Ns}\E(/3 )(r,t2)?(+)(r,n)|{Ns})
о 0
exp(iw2i(r1 - r2)).
672
Глава 6
вид операторов поля (задача 6.58), находим
(7) ^(п - т2) = ^]Te"efus(Ns)e-M^-^ =
= J Gae(u)e~iuJ(n-nOg.
Спектральная плотность поля Gap(uj) определяется значениями средних чисел
заполнения (Ns) рассматриваемого поля.
Обозначив усредненную с оператором плотности вероятность через W(t),
запишем ее через спектральную плотность поля:
t t оо
(8) Wit) = J J J ^dT1dT2G/3a(u)exp(i(iJ2i-Lj)(T1-T2)).
0 0 -oo
Интегралы по времени дают
| exp(i(u;2i ~ u)t ~ 1|2 _ 4sin2((u;2i -uj)t/2)_
(co2i - to)2 (co2i - u>)2
при больших t можно воспользоваться асимптотическим выражением
sin2(cj2i - u)t/2 (и21 - w)2t/2
(10) ------------------>7t^(cj2i-^).
Таким образом, окончательно находим
(11) W(t)/t =
- вероятность перехода в единицу времени для случайного поля
определяется спектральной плотностью этого поля на частоте перехода.
6.64. С формальной точки зрения, основанной на теории возмущений,
рассеяние - это процесс перехода системы из начального состояния |г) = =
в конечное |/) = фfФ^J^/y, где ф^ и фf волновые функции
начального и конечного состояний атома, а Ф{дг3} и Ф{лг'} - волновые
6.4. Ответы и решения
673
функции поля. Дифференциальное сечение рассеяния - это отношение
интенсивности излучения, рассеянного в телесный угол бЮ, к плотности
потока падающего на рассеиватель излучения:
Конечные состояния, по которым необходимо проводить суммирование
(интегрирование) в этом выражении, определяются условиями наблюдения
рассеянного света. Так, если при регистрации используются поляризационные
анализаторы, то по поляризациям суммирование проводить не надо. При
спектральном анализе рассеянного излучения интегрирование по частотам
производится в пределах полосы пропускания соответствующего фильтра.
Обозначим индексом 1 моду, в которой уменьшается число фотонов, а
индексом 2 - моду, в которой в результате рассеяния число фотонов
увеличивается. Процесс рассеяния является двухфотонным, поэтому для его
описания необходимо учитывать как первое слагаемое в (6.57) (во втором
порядке теории возмущений), так и второе, описывающее двухфотонные
процессы уже в первом порядке. Последнее слагаемое, содержащее
взаимодействие спинового магнитного момента атома с магнитным полем,
можно опустить, если ограничиться рассмотрением систем, размеры которых
много меньше длины волны излучения (электрическое дипольное приближение).
Таким образом, оператор взаимодействия представим в виде
Вероятность рассеяния в единицу времени в первом неисчезающем порядке
можно вычислить по теории возмущений с суммированием по промежуточным
состояниями:
где е^-полная энергия системы атом + поле в состоянии 11). Индекс 2 у
волнового вектора обозначает, что соответствующие величины относятся к
рассеянному фотону. Заметим, что мы рассматриваем нерезонансное
рассеяние, поэтому можем полностью игнорировать конечную ширину уровней
атома.
(1)
f
(2)
V = Vx + V2; Vx
674
Глава 6
Рассмотрим матричные элементы операторов V\ и V2 по отдельности.
(f\V2\i) = -^1(f\A2\i) =
2mcz
= -?^VM№ + 1)(/Ф/МЛг) -A*2(r))^d3r+
+ J ф}(А*2(г) ¦ Аг(г))гр^3г) =
= ^ л/Щ^2ТТ) 1/^- J Ф}е1 ¦ 62 exp(i(/ci - к2) ¦ г)фг d3r.
Здесь Ni и Л^-числа заполнения мод 1 и 2 в начальном состоянии системы.
В дипольном приближении exp(z(/ci - &2)г) ~ 1 и предыдущее выражение
можно упростить:
/"Г,, л 2e2TrHy/Ni(N2 + 1)
(4) {Шг) = 61 '^
Таким образом, квадратичное по полю слагаемое в операторе взаимодействия
влияет только на вероятность процессов рассеяния, происходящих без
изменения атомного состояния (такие процессы принято называть
когерентными, или упругими).
Матричные элементы оператора V\ уже вычислялись в примере 6.9:
(5) ^ (№\l)m\i) _ е2 2nhy/N1{N2 + l)
ei ~ е1 т2 У
\ - Si + hcui Si - Si - hco 2 у
Отметим важное для нерезонансного рассеяния обстоятельство. В сумме по I
в (З)входят слагаемые двух типов - одни описывают процесс, при котором на
первом этапе уничтожается фотон падающей волны, а на втором рождается
фотон в рассеянной волне. Этим слагаемым соответствует знаменатели вида
Si - Si + hw\. Слагаемые второго типа содержат знаменатели Si - Si - hw2
и связаны с переходами через промежуточные состояния, в которых
рассеянный фотон появляется раньше, чем атомная система поглощает
падающий фотон.
6.4. Ответы и решения
675
Подставляя (4) и (5) в определение сечения (1) и учитывая, что плотность
потока фотонов в падающей волне равна TVic/У, получим
(6)
(1(7
dn
e4(7V2 + l)tc?2
9 4 Ш С (Ji
е1е2^г/ +
, _L V I ^|P'e2l*MP,eil*) , (/|P-ellO(f|P-e2
Si-Si + hw1 8г-8г-Пи2
|i)
Здесь - телесный угол, в котором распространяется рассеянный фотон, а
частоты со си 2 связаны законом сохранения энергии Нсо\ + ё^ = = Нсо2 +
