Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
кривых относятся как 1: 1,5: 2. Максимум приходится на частоту
где в последнем выражении температуру Т следует брать в кельвинах.
Зависимость иош ос Т называется законом смещения Вина Из этого закона
следует, что максимум излучения с ростом температуры смещается в сторону
более высоких частот (коротких длин волн). Так, поверхность (фотосфера)
желтого Солнца нагрета до " 6000°, белого Сириуса до ^ 10 000°, голубой
Веги - до ^ 20 000° и т. д.
Имеется две области частот, в которых формула Планка упрощается. При
низких частотах T/hco 1 и
- формула Релея-Джинса. Именно такой закон дает при всех частотах
классическая физика. Он получается путем умножения средней энер-
(3)
(4)
6.4. Ответы и решения
647
гии Т одного осциллятора на плотность числа осцилляторов,
пропорциональную L02. Спектральная плотность возрастает неограниченно с
ростом частоты ("ультрафиолетовая катастрофа").
При высоких частотах Т/Ни <С 1, и из формулы Планка следует
экспоненциальный спад плотности излучения - закон Вина:
(5) pH * -А-уе-^/т.
КС
Экспоненциальный спад спектральной плотности объясняется дискретностью
энергии осциллятора при заданной частоте. Если fnu > Т, то тепловой
энергии атомов порядка Т не хватает для переброса осциллятора поля на
следующий уровень, и испускание квантов такой энергии затруднено.
Формула Планка (1) описывает всю область частот при любых температурах с
высокой точностью.
Рис. 6.5
6.25. р'(А) = Ifor - -L--
А ехр(27гсЯ/АТ) - 1
(см. 6.5 - то же, что на рис. 6.4, но по горизонтальной оси отложена
длина волны Л в произвольных единицах). Это распределение убывает при Л -
> О
648
Глава 6
по экспоненциальному закону, а при А -> оо по степенному закону и имеет
максимум при
2ттНс 0,289
А = А' =
4,99 Т
см.
Здесь в последнем равенстве температура в кельвинах. Численный
коэффициент 4,99 получается из решения трансцендентного уравнения е~х = 1
-
- х/Ъ.
Максимум распределения р'(А) смещается при увеличении температуры в
сторону меньших длин волн, А^ ос 1/Т. В этом проявляется закон смещения
Вина по длинам волн. Надо отметить, что значение А^ и соответствующее
значение частоты со'ш = 2тгс/Х'ш не совпадают с Am, иот, отвечающими
максимуму распределения по частотам (см. уравнение (3) из решения задачи
6.23). А именно, А^ = 0,565Ат < Ат, ио'ш = 1,77сот, и это различие весьма
заметно. Например, в случае излучения Солнца при Т = = 6000° максимум
распределения по частоте соответствует Ат = 8,5 х 10-5 см (это - ближний
инфракрасный диапазон), тогда как при распределении по длинам волн
максимуму отвечает А^ = 4,82х10-5см (синий диапазон!) Наблюдаемый же
визуально желто-белый цвет Солнца находится между Ат
и^т-
6.26.
Название Т( К) \т (см) Am (СМ) Видимый цвет
а реликтовое излучение 3 0,17 0,095 СВЧ
б поверхность Земли 300 1,7 х 10"3 0,95 х 10"3 ик
в /^-Цефея 2000 2,55 х 10"4 1,43 х 10-4 темно-красный
Г Солнце 6000 8,5 х 10"5 4,82 х 10"5 желто-белый
Д Сириус 11000 4,6 х 10"5 2,57 х 10"5 белый
е /3-Центавра 22 500 2,27 х 10"5 1,29 х 10"5 голубой
ж туманность Лиры 75 000 0,68 х 10"5 038 х 10"5 УФ
3 нейтронная звезда 250 000 2 х 10"6 1,1 х 10"6 рентген
и внутренние области звезд 2,5 х 107 2 х 10"8 1,1 х 10"8
рентген
6.27. F = -TlnZ = -±<?, S = Cv = Щ^Т3У, & = -f-,
о ос с 3 у
где сг, 8 - постоянная Стефана-Больцмана и внутренняя энергия,
определенные в условии задачи 6.24.
6.28. Фоковские состояния |п) представляют собой бесконечное счетное
множество и образуют полный набор, по которому может быть разложен вектор
произвольного состояния данной моды. Когерентные состояния |г),
6.4. Ответы и решения
649
где z - любое комплексное число, образуют континуальное множество и
содержат, таким образом, большее число функций (переполненный набор).
Достаточно использовать лишь часть их для представления произвольного
вектора состояния моды.
6.29. Предположим, что существуют нормированные состояния, такие
что
Разложим вектор \(3) по базису фоковских состояний, как это делалось в
примере 6.4:
В результате n-кратного применения данного соотношения получаем
Ряд (5) расходится при любых конечных /3, что и доказывает утверждение,
содержащееся в условии задачи.
6.30. Эволюция когерентного состояния описывается нестационарным
уравнением Шредингера
(1)
af|/3) = (ЗЩ, ((3\а = (/3|/3*.
ОО
71 = 0
Для коэффициентов разложения имеем рекурентное соотношение
(з)
(4)
Норма вектора \/3) при этом равна
оо
(5)
(1)
где Ж = hw(d)a + 1/2). Решение этого уравнения при начальном условии
\a(t))\t^o = \ао) имеет вид
650
Глава 6
Разлагая начальное когерентное состояние по базису фоковских состояний и
учитывая, что последние являются собственными состояниями оператора
Гамильтона, получим
00 СУП
|a(i)) = ехр(-|ао|2/2) V] exp (-iw(n + l/2)t) -?=|п) = п=о vn!
= ехр(-itot/2) ехр(-|ао ехр(-iiot))\2/2) У'' \п) =
п=о V"!
= ехр(-icot/2)\ao ехр(-icot)). (6.133)
Из последней формулы видно, что с течением времени когерентное состояние
остается когерентным, его амплитуда меняется по закону a(t) = = "о ехр(-
